Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М., 1980

Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И.Кручковича. - М., 1973.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., 1979.

Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. / Под ред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1990. – Ч 1-3.

Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1992.

Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и статистика, 1982.

Акулич И.Л.. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высш. школа, 1993.

Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. А.П.Рябушко. - Мн.: Выш. школа, 1992.

Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. - Мн.: Выш. школа, 1978.

Кузнецов А.В., Новиков Г.И., Холод Н.И. Сборник задач по математическому программированию. - Мн.: Выш. школа, 1985.

Дополнительная литература

1. Никольский С.М. Математический анализ. - М., 1987.

2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М., 1980.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М., 1979.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1980.

5. Гачев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимальному управлению. - М.: Изд-во МГУ, 1980.

6. Карманов В.Г. Математическое программирование. - М.: Наука, 1975.

7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. - Киев: Вища школа, 1975.

3. Контрольные работы

3.1. Правила оформления контрольных работ

При выполнении работ необходимо:

1) указывать на титульном листе номер работы, название дисциплины, номер курса и название факультета, номер зачетной книжки, фамилию, имя и отчество, обратный адрес;

2) решения задач приводить в порядке, указанном в задании;

3) перед каждым решением указывать полный номер задачи (например, 4.2.17 - четвертая работа, задание 2, вариант 17) и ее условие согласно заданию;

4) решения приводятся с необходимыми краткими пояснениями, крупным и разборчивым почерком;

5) после каждого решения оставлять место для возможных замечаний рецензента;

Незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы.

При несоблюдении указанных требований работа не рецензируется.

Прорецензированные и зачтенные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления зачтенных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

3.2. Выбор варианта контрольной работы

Номер варианта для каждой задачи выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Если это число превышает 30, то из него вычитается число, кратное 30, так, чтобы остаток оказался меньше 30. Этот остаток есть номер варианта. Например, номер зачетной книжки оканчивается на 76. Тогда номер варианта задания равен

76-2*30=16.

Примечание. Количество и содержание заданий контрольных работ, выполняемых в каждом семестре, определяется студентам на установочной сессии.

3.3. Задания контрольных работ

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задание 1.1

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

25.	26.
27.	28.
29.	30.

Задание 1.2

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.

9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Задание 1.3

По координатам точек a, b и с для указанных векторов найти:

а) модуль вектора а;

б) скалярное произведение векторов a и b;

в) проекцию вектора c на вектор d;

г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении .

1. A (4, 6, 3), B (-5, 2, 6), C (4, -4, -3), a = - , b = , c = , d = , l = AB, = 5, = 4.

2. A (4, 3, -2), B (-3, -1, 4), C (2, 2, 1), a = , b = , c = , d = , l = BC, = 2, = 3.

3. A (-2, -2, 4), B (1, 3, -2), C (1, 4, 2), a = , b = , c = , d = , l = BA, =2, =1.

4. A (2, 4, 3), B (3, 1, -4), C (-1, 2, 2), a = + , b = , c = b, d = , l = BA, = 1, = 4.

5. A (2, 4, 5), B (1, -2, 3), C (-1, -2, 4), a = , b = , c = b, d = , l = AB, = 2, = 3.

6. A (-1, -2, 4), B (-1, 3, 5), C (1, 4, 2), a = , c = b = , d = , l = AC, = 1, = 7.

7. A (1, 3, 2), B (2, 4, 1), C (1, 3, 2), a = + , B = ,с = b, d = , l = AB, = 2, = 4.

8. A (2, -4, 3), B (-3, -2, 4), C (0, 0, -2), a = - , b = c = , d = , l = AC, = 2, = 1.

9. A (3, 4, -4), B (-2, 1, 2), C (2, -3, 1), a = - , b = c = , d = , l = AB, = 2, = 5.

10. A (0, 2, 5), B (2, -3, 4), C (3, 2, -5), a = + , b = c = , d = , l = AC, = 3, = 2.

11. A (-2,-3, -4), B (2, -4, 0), C (1, 4, 5), a = - , b = c = , d= , l =AB, = 4, = 2.

12. A (-2, -3, -2), B (1, 4, 2), C (1, -3, 3), a = - , b = c= , d = , l = BC, = 3, = 1.

13. A (5, 6, 1), B (-2, 4,-1), C (3,-3,3), a = - , b = c = , d = , l = BC, = 3, = 2.

14. A (10, 6, 3), B (-2, 4, 5), C (3, -4, -6), a = - , b = c= , d = , l = AC, = 2, = 4.

15. A (3, 2, 4), B (-2, 1, 3), C (2, -2, -1), a = - , b = , c = , d = , l = AB, = 2, = 5.

16. A (-2, 3, -4), B (3, -1, 2), C (4, 2, 4), a = + , b = c = , d = , l = BC, = 2, = 5.

17. A (4, 5, 3), B (-4, 2, 3), C (5, -6, -2), a = - , b = c= , d = , l = BC, = 5, = 1.

18. A (2, 4, 6), B (-3, 5, 1), C (4, -5, -4), a = + , b = c = , d = , l = BC, = 1, = 3.

19. A (-4, -2, -5), B (3, 7, 2), C (4, 6, -3), a = + , b = c = , d = , l = BA, = 4, = 3.

20. A (5, 4, 4), B (-5, 2, 3), C (4, 2, -5), a = - , b = , c = , d = , l = BC, = 3, = 1.

21. A (3, 4, 6), B (-4, 6, 4), C (5, -2, -3), a = + , b = , c = , d = , l = BA, = 5, = 3.

22. A (-5, -2, -6), B (3, 4, 5), C (2, -5, 4), a = - , b = c = , d = , l = AC, = 3, = 4.

23. A (3, 4, 1), B (5, -2, 6), C (4, 2, -7), a = + , b = c = , d = , l = AB, = 2, = 3.

24. A (4, 3, 2), B (-4, -3, 5), C (6, 4, -3), a = - , b = c = , d = , l = BC, = 2, = 5.

25. A (-5, 4, 3), B (4, 5, 2), C (2, 7, -4), a = + , b = c = , d = , l = BC, = 3, = 4.

26. A (6, 4, 5), B (-7, 1, 8), C (2, -2, -7), a = - , b = , c = , d = , l = AB, = 3, = 2.

27. A (6, 5, -4), B (-5, -2, 2), C (3, -3, 2), a = - , b = c = , d = , l = BC, = 1, = 5.

28. A (-3, -5, 6), B (3, 5, -4), C (2, 6, 4), a = - , b = , c = , d = , l = BA, = 4, = 2.

29. A (3, 5, 4), B (4, 2, -3), C (-2, 4, 7), a = - , b = ,c = d = , l = BA, = 2, = 5.

30. A (4, 6, 7), B (2, -4, 1), C (-3, -4, 2), a = - , b = c = , d = , l = AB, = 3, = 4.

Задание 1.4

Даны векторы. Необходимо: а) найти модуль векторного произведения векторов и ; б) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и ; в) вычислить смешанное произведение трех векторов и проверить, будут ли они компланарны.

1. a = 2i - 3j + k, b = j + 4k, с = 5i + 2j - 3k.

2. а = 3i + 4j + k, b = i - 2j + 7k, с = 3i - 6j + 21k.

3. a = 2i - 4j - 2k b = 7i + 3j c = 3i + 5j - 7k.

4. а= -7i + 2k, b = 2i - 6j + 4k, c = i-3j + 2k.

5. а = -4i + 2j - k, b = 3i + 5j - 2k, c = j + 5k.

6. a = 3i - 2j + k, b = 2j - 3k, c = -3i + 2j - k.

7.a = 4i – j + 3k, b = 2i + 3j - 5k, c = 7i + 2j + 4k.

8. a = 4i + 2j - 3k, b = 2i + k, с = -12i - 6j + 9k.

9. a = -i + 5k, b = -3i + 2j + 2k, с = -2i - 4j + k.

10. a = 6i - 4j + 6k, b = 9i - 6j + 9k, с = i - 8k.

11. a = 5i - 3j + 4k, b = 2i - 4j - 2k, c = 3i + 5j - 7k.

12. а = -4i + 3j - 7k, b = 4i + 6j - 2k, с = 6i + 9j - 3k.

13. а= -5i + 2j - 2k, b = 7i - 5k, c = 2i + 3j - 2k.

14. a = -4i - 6j + 2k, b = 2i + 3j - k, c = -i + 5j - 3k.

15. a = -4i + 2j - 3k, b = -3j + 5k, с = 6i + 6j -4k.

16. а = -3i + 8j, b = 2i + 3j - 2k, c = 8i + 12j - 8k.

17. a = 2i - 4j - 2k, b = -9i + 2k, c = 3i + 5j - 7k.

18. a = 9i - 3j + k, b = 3i - 15j + 21k, c = i - 5j + 7k.

19. а = -2i + 4j - 3k, b = 5i + j - 2k, c = 7i + 4j – k.

20. а = -9i + 4j - 5k, b = i - 2j + 4k, c = -5i + 10j - 20k.

21. a = 2i - 7j + 5k, b = -i + 2j - 6k, c = 3i + 2j - 4k.

22. a = 7i - 4j - 5k, b = i - 11j + 3k, с = 5i + 5j + 3k.

23. a = 4i - 6j - 2k, b = -2i + 3j + k, c = 3i - 5j + 7k.

24. a = 3i – j + 2k, b = -i + 5j - 4k, c = 6i - 2j + 4k.

25. а = -3i – j - 5k, b = 2i - 4j + 8k, c = 3i + 7j – k.

26. а = -3i + 2j + 7k, b = i - 5k, c = 6i + 4j – k.

27. a = 3i – j + 5k, b = 2i - 4j + 6k, c = i - 2j + 3k.

28. a = 4i - 5j - 4k, b = 5i - j, c = 2i + 4j - 3k.

29. а = -9i + 4k, b = 2i - 4j + 6k, c = 3i - 6j + 9k.

30. a = 5i - 6j - 4k, b = 4i + 8j - 7k, c = 3j - 4k.

Задание 1.5

Даны четыре точки А₁( ), А₂( ), A₃( ) и А₄( ). Составить уравнения:

а) плоскости А₁ А₂ А₃;

б) прямой А₁ А₂;

в) прямой А₄М, перпендикулярной к плоскости А₁А₂ А₃;

г) прямой А₃N, параллельной прямой А₁ А₂;

д) плоскости, проходящей через точку А₄перпендикулярно к прямой А₁ А₂.

Вычислить:

е) синус угла между прямой А₁ А₄и плоскостью А₁ А₂ А₃.

ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А₁ А₂ А₃.

1. А₁(3, 1, 4), А₂(-1, 6, 1), А₃(1, 1, 6), А₄(0, 4, -1).

2. А₁(3, 5, 4), А₂(5, 8, 3), А₃(1, 2, -26), А₄(-1, 0, 2).

3. А₁(2, 4, 3), А₂(1, 1, 5), А₃(4, 9, 3), А₄(3, 6, 7).

4. А₁(9, 5, 5), А₂(-3, 7, 1), А₃(5, 7, 8), А₄(6, 9, 2).

5. А₁(0, 7, 1), А₂(2, -1, 5), А₃(1, 6, 3), А₄(3, -9, 8).

6. А₁(5, 5, 4), А₂(1, -1, 4), А₃(3, 5, 1), А₄(5, 8, -1).

7. А₁(6, 1, 1), А₂(4, 6, 6), А₃(4, 2, 0), А₄(1, 2, 6).

8. А₁(7, 5, 3), А₂(9, 4, 4), А₃(4, 5, 7), А₄(7, 9, 6).

9. А₁(6, 8, 2), А₂(5, 4, 7), А₃(2, 4, 7), А₄(7, 3, 7).

10. А₁(4, 2, 5), А₂(0, 7, 1), А₃(0, 2, 7), А₄(1, 5, 0).

11. А₁(4, 4, 10), А₂(7, 10, 2), А₃(2, 8, 4), А₄(9, 6, 9).

12. А₁(4, 6, 5), А₂(6, 9, 4), А₃(2, 10, 10), А₄(7, 5, 9).

13. А₁(3, 5, 4), А₂(8, 7, 4), А₃(5, 10, 4), А₄(4, 7, 8).

14. А₁(10, 9, 6), А₂(2, 8, 2), А₃(9, 8, 9), А₄(7, 10, 3).

15. А₁(1, 8, 2), А₂(5, 2, 6), А₃(5, 7, 4), А₄(4, 10, 9).

16. А₁(6, 6, 5), А₂(4, 9, 5), А₃(4, 6, 11), А₄(6, 9, 3).

17. А₁(7, 2, 2), А₂(-5, 7, -7), А₃(5, -3, 1), А₄(2, 3, 7).

18. А₁(8, -6, 4), А₂(10, 5, -5), А₃(5, 6, -8), А₄(8, 10, 7).

19. А₁(1, -1, 3), А₂(6, 5, 8), А₃(3, 5, 8), А₄(8, 4, 1).

20. А₁(1, -2, 7), А₂(4, 2, 10), А₃(2, 3, 5), А₄(5, 3, 7).

21. А₁(4, 2, 10), А₂(1, 2, 0), А₃(3, 5, 7), А₄(2, -3, 5).

22. А₁(2, 3, 5), А₂(5, 3, -7), А₃(1, 2, 7), А₄(4, 2, 0).

23. А₁(5, 3, 7), А₂(-2, 3, 5), А₃(4, 2, 10), А₄(1, 2, 7).

24. А₁(4, 3, 5), А₂(1, 9, 7), А₃(0, 2, 0), А₄(5, 3, 10).

25. А₁(3, 2, 5), А₂(4, 0, 6), А₃(2, 6, 5), А₄(6, 4, -1).

26. А₁(2, 1, 6), А₂(1, 4, 9), А₃(2, -5, 8), А₄(5, 4, 2).

27. А₁(2, 1, 7), А₂(3, 3, 6), А₃(2, -3, 9), А₄(1, 2, 5).

28. А₁(2, -1, 7), А₂(6, 3, 1), А₃(3, 2, 8), А₄(2, -3, 7).

29. А₁(0, 4, 5), А₂(3, -2, 1), А₃(4, 5, 6), А₄(3, 3, 2).

30. А₁(3, -1, 2), А₂(-1, 0, 1), А₃(1, 7, 3), А₄(8, 5, 8).

Задание 1.6

Решить следующие задачи

1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(-2, 7, 3) параллельно плоскости х - 4у + 5z - 1 = 0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М₁М₂ перпендикулярно к этому отрезку, если М₁(1, 5, 6), М₂(-1, 7, 10).

3. Найти расстояние от точки М(2; 0; -0,5) до плоскости 4х - 4у + 2z + 17 = 0.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -3, 5) параллельно плоскости Оху.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку А(2, 5, -1).

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 5, -1), В(-3, 1, 3) параллельно оси Оу.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, 4, 0) и прямую ^х^{- 2}=^у^{- 3}=^{z + 1}.

¹²²

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ^{х - 3} = ^у = ^{z - 1} и ^{х + 1} = ^{у - 1} = ^z.

^{2 1 2 2 1} ²

9. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3х - у - 7z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку А(3, 2, -5).

10. Составить уравнение плоскости в <<отрезках>>, если она проходит через точку М(6, -10, 1) и отсекает на оси Ох отрезок а = -3, а на оси Оz - отрезок с = 2.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 3, -4) параллельно двум векторам а = (4, 1, -1) и b = (2, -1, 2).

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1,1,0), В(2,-1,-1) перпендикулярно к плоскости 5х+ 2у + 3z -7= 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - 3у + z - 1 = 0 и х - у + 5z +3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, -1, 2), В(2, 1, 4) параллельно вектору а = (5, -2, -1).

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору , если А(5, -2, 3), В(1, -3, 5).

16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2, -3, 3) параллельно плоскости 3х + у - 3z = 0.

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, -1, 2) перпендикулярно к отрезку М₁М₂, если М₁(2, 3, -4), М₂(-1, 2, -3).

18. Показать, что прямая параллельна плоскости

х + 3у - 2z + 1 = 0, а прямая х = t + 7, у = t - 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.

19. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, -4, 1) параллельно координатной плоскости Охz.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(3, -5, 2).

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1, 2, 3) и N(-3, 4, -5) параллельно оси Оz.

22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 3, -1) и прямую х = t - 3, у = 2t + 5, z = -3t + 1.

23. Найти проекцию точки М(4, -3, 1) на плоскость х - 2у - z - 15 = 0.

24. Определить, при каком значении В плоскости х - 4у + z - 1 = 0 и 2х + Ву + 10z - 3 = 0 будут перпендикулярны.

25. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2, -3, -4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26. При каких значениях n и А прямая перпендикулярна

к плоскости Ах + 2у - 2z - 7 = 0?

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 3, -1), В(1, 1, 4) перпендикулярно к плоскости х - 4у + 3z + 2 = 0.

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям х + 5у - z + 7=0 и 3х - у + 2z - 3=0.

29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(2, 3, -5) и N(-1, 1, -6) параллельно вектору а = (4, 4, 3).

30. Определить, при каком значении С плоскости 3х - 5у + Сz - 3 = 0 и х - 3у + 2z + 5 = 0 будут перпендикулярны.

Задание 1.7

Решить следующие задачи

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х - 2у - 7 = 0 и х + 3у - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2. Найти проекцию точки А(-8, 12) на прямую, проходящую через точки В(2, -3) и С(-5, 1).

3. Даны две вершины треугольника АВС: А(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2у - х = 3.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -3) и точку пересечения прямых 2х - у = 5 и х + у = 1.

6. Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3), D(-5, 5).

7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5), С(1, 0).

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 1) параллельно прямой MN, если М(-3, -2), N(1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М(2, -1) относительно прямой х - 2у + 3 = 0.

10. Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если А(-1, -3), В(3, 5), С(5, 2), D(3, -5).

11. Через точку пересечения прямых 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х - 4у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

13. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6, 2), В(2, -2) и точка пересечения его высот Н(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если А(-4, 2), В(3, -5), С(5, 0).

15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3).

16. Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - х + 5у - 7 = 0, ВС - 3х - 2у + 13 = 0.

17. Дан треугольник с вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведённой из вершины С.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.

19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, если А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45⁰; б) 90⁰; в)0⁰.

24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(-6, -6) и В(-3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками А(4, -3) и В(-1, 2) в отношении l = 2/3.

26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у - 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагонали.

27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(-3, 1), В(7, 5) и С(5, -3).

28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45⁰ к прямой 2х + 3у = 6.

29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2х-3у +1=0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, х - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

Задание 1.8

Построить поверхности и определить их вид (название).

1. а) 4х²- у²- 16z²+ 16 = 0; б) х²+ 4z = 0.

2. а) 3х²+ у² + 9z²- 9 = 0; б) х²+ 2у² - 2z = 0.

3. а) -5х²+ 10у² - z²+ 20 = 0; б) у² + 4z²= 5х².

4. а) 4х²- 8у² + z²+ 24 = 0; б) х²-у = -9z².

5. а) х²- 6у² + z² = 0; б) 7х²- 3у² - z²= 21.

6. а) z = 8 - х²- 4у²; б) 4х²+ 9у² + 36z²= 72.

7. а) 4х²+ 6у² - 24z²= 96; б) у² + 8z² = = 20х².

8. а) 4х²- 5у² - 5z²+ 40 = 0; б) у = 5х² + 3z².

9. а) х²= 8(у²+ z²); б) 2х²+ 3у² - z²= 18.

10. а) 5z²+ 2у²= 10х; б) 4z²- 3у² - 5х²+ 60 = 0.

11. а) х²- 7у² - 14z²- 21 = 0; б) 2у = х² + 4z².

12. а) 6х²- у² + 3z²- 12 = 0; б) 8у² + 2z²= х.

13. а) -16х²+ у² + 4z²- 32 = 0; б) 6х²+ у² - 3z² = 0.

14. а) 5х²- у² - 15z²+ 15 = 0; б) х² + 3z = 0.

15. а) 6х²+ у² + 6z²- 18 = 0; б) 3х²+ у² - 3z = 0.

16. а) -7х²+ 14у² - z²+ 21 = 0; б) у² + 2z²= 6х².

17. а) -3х²+ 6у² - z²- 18 = 0; б) х²- 2у = -z².

18. а) 4х²- 6у² + 3z²= 0; б) 4х²- у² - 3z² = 12.

19. а) z = 4 - х²- у²; б) 3х²+ 12у² + 4z² = 48.

20. а) 4х²+ 5у² - 10z²= 60; б) 7у² + z² = 14х².

21. а) 9х²- 6у² - 6z²+ 1 = 0; б) 15у = 10х²+ 6у².

22. а) х²= 5 (у² + z²); б) 2х²+ 3у² - z²= 36.

23. а) 4х²+ 3у² = 14х; б) 3х²- 4у² - 2z²+ 12 = 0.

24. а) 8х²- у² - 2z²- 32 = 0; б) у - 4z²= 3х².

25. а) х²- 6у² + z²- 12 = 0; б) х - 3z²= 9у².

26. а) 2х²- 3у² - 5z²+ 30 = 0; б) 2х²+ 3z = 0.

27. а) 7х²+ 2у² + 6z²- 42 = 0; б) 2х²+ 4у² - 5z = 0.

28. а) -4х²+ 12у² - 3z²+ 24 = 0; б) 2у² + 6z²= 3х.

29. а) 3х²- 9у² + z²+ 27 = 0; б) z²- 2у= -4х².

30. а) 27х²- 63у² + 21z² = 0; б) 3х²- 7у² - 2z² = 42.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2

Дифференцирование и исследование функций

Задание 2.1

Найти .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

12. .

13. .

14. .

15. .

18. .

22.

27.

28.

29.

30.

Задание 2.2

Найти

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 2.3

Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя.

16.

17.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 2.4

Исследовать функцию и построить ее график.

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

19.	25.
20.	26.
21.	27.
22.	28.
23.	29.
24.	30.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3

Дифференциальное исчисление функции

нескольких переменных

Задание 3.1

Найти градиент, уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке М_о(X_o,Y_o,Z_o).

S: .

Задание 3.2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z=Z(X,Y) в области D, ограниченной заданными линиями.

z=3x²+ 3y²- 2x - 2y + 2, D : х = 0, у = 0, х + у – 1 = 0.

Задача 3.3. Найти полные дифференциалы указанных функций:

30.

Задача 3.4.Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что .

Задача 3.5.Вычислить значение производной сложной функции , где , , при с точностью до двух знаков после запятой.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4.

Интегральное исчисление.

Задача 4.1

С помощью интегрирования по частям вычислить неопределённый интеграл от функции вида

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

11. 26.

27.

28.

29.

30.

Задача 4.2.

Вычислить неопределённый интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подинтегральной функции

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задача 4.3.

Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Задача 4.4.

Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Задача 4.5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задача 4.6.

Переходя в полярную систему координат вычислить с помощью опре-деленного интеграла площадь, ограниченную кривыми:

первым витком спирали Архимеда и отрезком полярной оси

одним лепестком линии

кардиоидой и окружностью

12. одним лепестком линии

13. четырёхлепестковой розой

14. лемнискатой Бернулли

первым и вторым витками спирали Архимеда и отрезком полярной

оси

окружностью и прямой

17. и (большая часть)

18. и

(большая часть)

22. (меньшая часть)

23. и

25. и

26. (меньшая часть)

27. (вне окружности)

28. и первого лепестка линии

29. между прямыми

Задача 4.7.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его сходимость

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

Задача 4.8.

Вычислить массу неоднородной пластины , ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

Задача 4.9.

Вычислить с помощью тройного интеграла объем области , ограниченной указанными поверхностями.

№ вар.

Задача 4.10.

Вычислить:

(а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой с плотностью с помощью криволинейного интеграла первого рода

(b) работу силы вдоль траектории от точки до точки с помощью криволинейного интеграла второго рода

- отрезок прямой между

- дуга параболы между

- отрезок прямой между

- четверть окружности между

- дуга параболы между

- отрезок прямой между

- четверть окружности между

- дуга параболы между

- полуокружность между

- дуга параболы между

- полуокружность между

- дуга параболы между

- отрезок прямой между

- полуокружность

между

- полуокружность между

Задача 4.11.

С помощью поверхностного интеграла первого рода

вычислить расход жидкости с полем скоростей

протекающей за единицу времени через часть плоскости лежащую в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.

№ вар.
1		0		3	1	2	6
2	0			1	1	2	2
3			0	2	3	1	8
4				4	1	3	9
5		0		1	2	3	6
6			0	2	3	1	4
7			0	2	1	5	8
8				1	2	4	6
9	0			3	4	2	9
10				3	2	1	6
11			0	2	1	3	8
12			0	1	3	2	6
13			1	4	1	2	8
14	5			2	4	1	8
15		0		1	4	2	6
16			5	5	3	1	10
17			3	3	5	1	10
18			0	3	1	2	6
19			4	2	1	1	4
20	0			1	2	4	6
21		0		1	3	2	6
22			4	2	3	1	6
23		4		2	3	4	9
24			0	4	2	1	8
25			-8	3	1	5	10
26				3	4	1	8
27				1	4	3	12
28				3	4	2	8
29		0		2	4	3	10
30	7			4	3	2	9

4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1

Задача 1.1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме

~ ~ .

Следовательно, (числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а). По формулам Крамера: где

Находим .

б). С помощью обратной матрицы где - обратная матрица к , - столбец правых частей.

; ; ;

; ; .

Решение системы

т.е. .

в). Наша система эквивалентна

(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и ).

Тогда

Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме

~ .

Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна

Откуда .

Полагая (произвольной постоянной), имеем

, .

Задача 1.3. По координатам точек , , найти:

а). Модуль вектора

;

б). Скалярное произведение векторов и .

в). Проекцию вектора на вектор .

г). Координаты точки , делящей отрезок в отношении 1:3; . Следовательно:

Задача 1.4. Даны векторы Необходимо:

а). Найти модуль векторного произведения .

= ;

б). Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и .

Условие коллинеарности двух векторов

Т.к. то вектора и неколлинеарны.

Условие ортогональности двух векторов

Т.к. то вектора неортогональны.

в). Вычислить смешанное произведение трех векторов

г). Проверить, будут ли компланарны три вектора

Вектора компланарны, если

Из пункта в) следовательно, эти векторы некомпланарны.

Задача 1.5. Даны четыре точки

Составить уравнения:

а). Плоскости

Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид

, откуда .

б). Прямой

Уравнение прямой по двум точкам

откуда

в). Прямой , перпендикулярной к плоскости .

Из уравнения плоскости следует, что вектор || откуда уравнение имеет вид

г). Прямой , параллельной Значит, вектор и уравнение этой прямой имеет вид

д). Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой

Вектор перпендикулярен искомой плоскости.

Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду

е). Вычислить - угла между прямой и плоскостью .

; ;

ж). Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .

Вектор а вектор . Поэтому

Задача 1.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, проведенной через точки и

Найти вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор и следовательно, в качестве вектора можно взять

; ;

Тогда уравнение искомой плоскости которое приводится к виду

Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и перпендикулярно первой прямой. Найдем точку :

Вектор параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем как оно приводится к виду

Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.

а) . Приведем уравнение к каноническому виду

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны и Построим поверхность.

б)

Приведем уравнение к каноническому виду .

Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.

4.2. Решение типового варианта контрольной работы N 2

Задача 2.1. Найти , если , , .

Решение. а). Для имеем

б). Для .

в). Для .

Задача 2.2. Найти , если

Решение

а).

б). Дифференцируя уравнение для , имеем

откуда

Дифференцирование последнего соотношения дает

Внося выражение для , находим

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

Здесь

откуда

Вторую производную вычислим по формуле

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

б). Предел является неопределённостью вида поэтому вначале его надо преобразовать к виду или :

К последнему (типа ) можно применять правило Лопиталя:

Полученный предел вновь является неопределенностью поэтому повторное применение правила дает

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

Тогда

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

Искомый предел согласно (1) равен

Задача 2.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось . Для отыскания участков монотонности находим

Тогда при (интервал возрастания), при (интервал убывания). Точка является стационарной, поскольку При переходе через производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

При или будет и функция вогнута; при и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот вычислим

Поэтому при функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции показаны на графике

4.3. Решение типового варианта контрольной работы N 3

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

Решение. Обозначим

Тогда

;

Величина градиента

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящей через , запишется

или

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через , поэтому ее уравнения

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, ограниченной заданными линиями:

Решение. Область D показана на рисунке (треугольник OAB).

B(0,6)

1 С

0 2 A(3,0) x

Cтационарные точки являются решениями системы уравнений

откуда находим точку , принадлежащую, как видно из рисунка, области . В этой точке . (2)

Исследуем функцию на границе области D.

Отрезок ОА. Здесь и Стационарные точки определяются из уравнения откуда В этой точке

. (3)

На концах отрезка

, . (4)

Отрезок АВ. Здесь и Из уравнения находим и

. (5)

При имеем

. (6)

Отрезок ОВ. Здесь Поскольку при функция не имеет стационарных точек. Значения ее при были вычислены в (4), (6).

Из результатов (2)-(6) заключаем, что

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точке С(2,1).

Задача 3.3. Найти полный дифференциал функции

Решение. Частные производные равны

Поэтому

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

Затем, дифференцируя найденные частные производные, получим частные

производные второго порядка данной функции:

Задача 3.5. Вычислить значение производной сложной функции

где

при с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Так как сложная функция зависит от одной переменной через промежуточные переменные и , которые в свою очередь зависят от одной переменной то вычисляем полную производную этой функции по формуле

Вычислим и при :

Подставим значения в выражение производной. Получим

4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение. Поскольку

искомый интеграл равен

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

Методом неопределенных коэффициентов находим

откуда

Решая эту систему уравнений, имеем

Искомый интеграл равен

Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Выполним подстановку Разрешая уравнение относительно , находим: .

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

и раскрывая скобки в равенстве

приходим к соотношению

Система уравнений относительно запишется

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .

Решение. Универсальной является подстановка для которой нетрудно проверить равенства

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

. (7)

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

(1) Тогда ;

(2) Тогда ;

(3) Тогда .

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Решение. а). Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке Площадь вычисляется по формуле

Исследуем Очевидно, что Поскольку

нетрудно проверить, что достигает в точке локального минимума, причем Кроме того, Поэтому наименьшее значение на [0,2], равное , положительно, и, значит, Имеем

Вычисляя интеграл по частям, находим

Поэтому

б). Здесь на Имеем , и, следовательно, меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения находим значение поэтому при и при Искомая площадь равна:

Вычисляем неопределенный интеграл

Тогда

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривой в полярной системе координат.

Решение. Кривая определена для тех значений из интервала (или ), при которых выполняется условие Неравенство имеет решения или

. (8)

Области (8) принадлежат интервалу при значениях т.е.

Площадь вычисляется по формуле

Вычисляя неопределенный интеграл

находим

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут то

Методом неопределенных коэффициентов находим , откуда Поэтому

Значение несобственного интеграла равно

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

Решение. Вид области показан на рисунке.

y=8x²

0 D 1

y= -x

-2

Масса пластины запишется с помощью двойного интеграла

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x², z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x² и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 638; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!