Использование решателей систем ОДУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Методические указания по выполнению лабораторной работы № 4

 

 

Исследование двигателя постоянного тока независимого

Возбуждения с помощью аппартата

Дифференциальных уравнений

 

Разработал

А.А. Кацурин, к.т.н.

 

Владивосток 2006г.

Цель работы

Исследование работы двигателя постоянного тока независимого возбуждения с помощью аппарата дифференциальных уравнений.

Краткие теоретические сведения

Математическое описание двигателя постоянного тока

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:

,

,

,

,

где ,  - напряжение и ток цепи возбуждения, ,  - сопротивления и индуктивность цепи возбуждения, ,  - напряжение и ток якорной цепи, ,  - сопротивления и индуктивность якорной цепи, - взаимная индуктивность обмоток якоря и возбуждения,  - угловая скорость ротора,  - электромагнитный момент двигателя,  - момент нагрузки, ,  - суммарный момент инерции двигателя и нагрузки.

 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение мно­гих задач в теории колебаний и в поведении упругих оболочек обычно базируют­ся на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

.

Параметр t не обязательно означает время, хотя чаще всего реше­ние дифференциальных уравнений ищется во временной области.

 

Решатели ОДУ

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные методы. Их реа­лизации названы решателями ОДУ. Все решатели могут решать системы уравнений явного вида у' = F(t, у).

Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется исполь­зовать только специальные решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb:

- ode45 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты;

- ode23 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. При уме­ренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения;

- ode113 - многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения;

- ode23tb - неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться бо­лее эффективным, чем ode15s;

- ode15s - многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный ме­тод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;

- ode23s - одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы дифференциальных уравнений;

- ode23t - метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результа­ты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармо­ническим выходным сигналом;

- bvp4c служит для проблемы граничных значений систем дифференциальных уравнений (краевая задача);

- pdepe нужен для решения систем параболических и эллиптических дифферен­циальных уравнений в частных производных.

 

Использование решателей систем ОДУ

В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравне­ний приняты следующие обозначения и правила:

- options - аргумент, создаваемый функцией odeset - позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset;

- tspan - вектор, определяющий интервал интегрирования [t0 tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, t1,..., tfinal (располо­женные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 t1 ... tfinal];

-  у0 - вектор начальных условий;

- Т, Y - матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвра­щенном в векторе-столбце Т.

Перейдем к описанию функций для решения систем дифференциальных уравнений:

- [T,Y] = solver(@F, tspan, y0) - где вместо solver подставляем имя конкретного решателя - интегрирует систему дифференциальных уравнений вида у'= f(t,y) на интервале tspan с начальными условиями у0. @F - дескриптор ODE-функции. Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, воз­вращаемому в векторе-столбце Т;

- [T.Y] = solver(@F, tspan, y0, options) - дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое зна­чение относительной погрешности RelTol (по умолчанию le-З) и вектор допу­стимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умол­чанию равны 1е-6);

 

Покажем применение решателя ОДУ на ставшем классическом примере - реше­нии уравнения Ван-дер-Поля, записанного в виде системы из двух дифференци­альных уравнений:

при начальных условиях

.

Перед решением нужно записать систему дифференциальных уравнений в виде ode-функции. Для этого в главном меню выберем File > New > M-File и введем

 

function dydt=vdp100(t,y)

dydt=zeros(2,1);

dydt(1)=y(2);

dydt(2)=2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

 

Сохраним m-файл-функцию. Тогда решение решателем ode15s и сопровождающий его график (рис. 1) можно получить, используя следующие команды:

 

>> [T,Y]=ode15s(@vdp100,[0 30],[2 0]);

>> plot(T,Y)

 

 

Рис. 1. Пример решения системы дифференциальных уравнений численным методом

 

 

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями к выполнению лабораторной работы.

2. Записать систему дифференциальных уравнений двигателя постоянного тока в форме Коши и ввести обозначения переменных в соответствии с требованиями Matlab.

3. В соответствии с вариантом создать файл-функцию для решения системы дифференциальных уравнений двигателя.

3. Решить систему дифференциальных уравнений и получить временные зависимости w=f(t), Ia=f(t), М_дв=f(t), а также электромеханическую w=f(Ia) и механическую w=f(M_дв) характеристики двигателя постоянного тока независимого возбуждения в удобном масштабе.

При решении системы дифференциальных уравнений необходимо использовать решатель – ode45, время моделирования принять – 10 с, начальные условия – нулевые.

4. Проанализировать влияние добавочного сопротивления R_доб на временные зависимости w=f(t), Ia=f(t), М_дв=f(t), а также электромеханическую w=f(Ia) и механическую w=f(M_дв) характеристики двигателя. Для этого необходимо провести моделирование работы схемы при следующих значениях добавочного сопротивления:

а) при уменьшенном до 0.5 R_доб ,

б) при увеличенном до 1.5 R_доб .

Для выполнения данного исследования необходимо в уравнениях принять сопротивление якорной цепи равным .

5. Проанализировать влияние напряжения якорной цепи (напряжения питания) Е на временные зависимости w=f(t), Ia=f(t), М_дв=f(t), а также электромеханическую w=f(Ia) и механическую w=f(M_дв) характеристики двигателя. Для этого необходимо провести моделирование работы схемы при следующих значениях Е:

а) при уменьшенном до 0.5 Е_зад ,

б) при увеличенном до 1.5 Е_зад .

6. Проанализировать влияние напряжения обмотки возбуждения Е_f на временные зависимости w=f(t), Ia=f(t), М_дв=f(t), а также электромеханическую w=f(Ia) и механическую w=f(M_дв) характеристики двигателя. Для этого необходимо провести моделирование работы схемы при следующих значениях Е_f:

а) при уменьшенном до 0.5 Е_{f зад} ,

б) при увеличенном до 1.5 Е_{f зад} .

7. Проанализировать влияние момента нагрузки М_н на временные зависимости w=f(t), Ia=f(t), М_дв=f(t), а также электромеханическую w=f(Ia) и механическую w=f(M_дв) характеристики двигателя. Для этого необходимо на модели подключить к двигателю источник для задания момента нагрузки в виде ступенчатого сигнала (Load_ Torque) со следующими значениями М_н :

а) начальное значение уменьшено до 0.5 М_н.зад ,

б) конечное значение увеличено до 1.5 М_н.зад .

8. Написать отчет о проделанной лабораторной работе.

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 285; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!