Исследование поведения функции и
Построение их графиков.
Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.
Функция у=f(х)называется возрастающей (убывающей)в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. Е. при x1<x2 выполняется неравенство
f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).
Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.
1. Если дифференцируемая функция у=f(х) на oтрезке [а; b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. Е. f'(х) 0(f' (х) 0).
2. Если непрерывная на отрезке [а; b] и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.
Функция y=f(х)называется неубывающей (невозрастающей)в некотором интервале, если для любых x1<x2 из этого интервала
f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)).
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функций, Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которых меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Точка x1называется точкой локального максимума функции у=f(x), если для любых достаточно малых | | 0 выполняется неравенство f(x1+ )<f(x1). Точка x2называется точкой локального минимума функции у=f(х), если для любых достаточно малых | | 0 справедливо неравенство f(x2+ )>f(х2). Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
|
|
Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума). Еслифункция. У=f(х) имеет в точке х=х0 экстремум, то либо f'(х0)=0, либо f'(х0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.
Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х=х0 и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если f'(х) при х<х0 положительна, а при х>х0 отрицательна, то при х=х0 функция у=f(х) имеет максимум. Если же f '(х) при х<х0 отрицательна, а при х>х0 положительна, то при х=х0 данная функция имеет минимум.
Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выполняться в достаточно малoй окрестности критической точки х=х0. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы.
|
|
Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции).Пусть функция у=f(х) дважды дифференцируема и f'(х0)=0. Тогда в точке х=х0 функция имеет локальный максимум, если f»(х0)<0, и локальный минимум, если f «( х0)>0.
В случае, когда f»(х0)=0, точка х= х0 может и не быть экстремальной..
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 269; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!