Алгоритм нахождения обратной матрицы для матрицы А
1. Вычисляем det A.
2. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если det A не равен 0, считаем алгебраические дополнения .
3. Ставим алгебраические дополнения на соответствующие места.
4. Все элементы получившейся матрицы делим на det A.
Упражнение 1. Выяснить, однозначна ли обратная матрица.
Упражнение 2. Пусть элементы матрицы А — целые рациональные числа. Будут ли элементы обратной матрицы целыми рациональными числами?
Системы линейных уравнений.
Определение 1. Уравнение вида a1x1+ ....+anxn=b , где a, ... ,an — числа; x1, ... ,xn — неизвестные, называется линейным уравнением с n неизвестными.
s уравнений с n неизвестными называется системой s линейных уравнений с n неизвестными, т.е.
(1)
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1).
.
Если к матрице А добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы (1).
X = — столбец неизвестных.
— столбец свободных членов.
В матричном виде система имеет вид: AX=B (2).
Решением системы (1) называют упорядоченный набор n чисел (α1 ,…, αn) таких, что если сделаем подстановку в (1) x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , то мы получим числовые тождества.
Определение 2. Систему (1) называют совместной, если она имеет решения, и несовместной в противном случае.
|
|
Определение 3. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Существует универсальный способ решения системы (1) — метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных), см. [1], стр.15.
Рассмотрим более подробно случай, когда s = n. Существует метод Крамера решения таких систем.
Пусть d = det ,
dj — определитель d, в котором j–тый столбец заменен столбцом свободных членов.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы d ¹ 0, тогда система имеет единственное решение, получающееся по формулам:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
¢Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
X = , B =
и рассмотрим уравнение AX = B (2) с неизвестной матрицей-столбцом X. Так как A, X, B — матрицы размеров n x n, n x 1, n x 1 соответственно, то произведение прямоугольных матриц АХ определено и имеет те же размеры, что и матрица В. Таким образом, уравнение (2) имеет смысл.
Связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что является решением данной системы тогда и только тогда, когда
|
|
столбец есть решение уравнения (2).
Действительно, это утверждение означает выполнение равенства
=
= .
Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств
которое означает, что — решение системы (1).
Итак, решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2). Так как определитель d матрицы А отличен от нуля, она имеет обратную матрицу А-1. Тогда АХ = В А-1(АХ) = А-1В (А-1А)Х = А-1В ЕХ = =А-1В Х = А-1В (3). Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, А(А-1В) = (АА-1)В = ЕВ = В.
Поэтому Х = А-1В есть единственное решение уравнения (2).
Так как ,
где Аij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе d, то
= ,
откуда (4).
В равенстве (4) в скобках написано разложение по элементам j-го столбца определителя dj, который получается из определителя d после замены в нем
j-го столбца столбцом свободных членов. Поэтому, xj = dj / d. £
Следствие. Если однородная система n линейных уравнений от n неизвестных имеет ненулевое решение, то определитель этой системы равен нулю.
|
|
ТЕМА 3. Многочлены от одной переменной.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!