Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Линейные операторы
Основные определения. Матрица линейного оператора
Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор (или преобразование) 
, если каждому вектору 
поставлен в соответствие определенный вектор 
.
Определение. Оператор (преобразование) называется линейным, если 
и произвольного числа 
:
1) 
;
2) 
.
Вектор 
называется образом вектора 
, а вектор – прообразом вектора при преобразовании .
Выберем в L базис 
, 
, ... , 
. Тогда, если
,
то в силу линейности оператора имеем:
.
Но 
, 
, ... , 
также векторы из L, поэтому
Тогда
Группируя по «столбцам», получим:
.
Если 
, 
, …, 
– координаты вектора в том же базисе , , ... , , т.е. если
,
то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем:
Таким образом, каждому линейному оператору в данном базисе , , ... , отвечает матрица
,
столбцы которой образованы коэффициентами разложения векторов , , ... , по базису , , ... , .
При этом коэффициенты разложений координат , , …, вектора по координатам вектора образуют строки матрицы A.
Верно и обратное: если в n-мерном векторном пространстве L задан базис, то каждая квадратная матрица A n-го порядка может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора.
Действительно, пусть , , ... , – базис L и пусть дана матрица A n-го порядка. Обозначим через оператор, переводящий произвольный вектор в вектор , где
Покажем, что оператор – линейный. В самом деле, произвольный вектор 
он переводит в вектор 
, где
вектор 
– в вектор 
, где
, 
.
Поэтому .
Далее, 
имеем 
и 
, где
, .
Следовательно, . А значит, оператор – линейный.
Итак, если в векторном пространстве L задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица n-го порядка и, обратно, каждой подобной матрице отвечает определенный линейный оператор.
Матрица A называется матрицей линейного оператора .
Замечание. Очевидно, что 
. При этом, если 
только при 
, то оператор называется невырожденным, если же найдется такой вектор 
, что , то оператор – вырожденный.
Пусть A – матрица линейного оператора . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
Для существования ненулевого решения этой системы (а значит, для существования ненулевого вектора такого, что ) необходимо и достаточно, чтобы 
.
Итак, оператор – невырожденный Û 
, где A – матрица этого оператора в любом базисе.
Пример 1. В четырехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование . Записать это преобразование в координатной форме, если 
, 
, 
, 
.
Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):
.
Поэтому 
, 
, 
, 
.
Пример 2. В трехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование , которое в координатной форме имеет следующий вид:
, 
, 
.
Является ли данное линейное преобразование вырожденным?
Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по строкам!):
.
Поскольку 
, то данное линейное преобразование является невырожденным.
Пример 3. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy (в правом ортонормированном базисе 
, 
) заключается в повороте каждого вектора против часовой стрелки на угол 
. Найти матрицу этого линейного преобразования и записать в координатной форме.
Решение. Напишем формулы преобразования векторов базиса , , опираясь на определение синуса и косинуса:
,
.
Тогда матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):
.
Отметим, что полученную матрицу A называют матрицей поворота.
Тогда в координатной форме преобразование имеет следующий вид:
,
.
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть линейный оператор , действующий в линейном пространстве L, в базисе , , ... , имеет матрицу A, а в базисе 
, 
, ... , 
– другую матрицу B. Установим связь между A и B.
Пусть C – матрица перехода от базиса , , ... , к базису , , ... , . Положим далее, что:
и 
– вектор-столбцы, составленные из координат какого-либо вектора L соответственно в «старом» , , ... , и «новом» , , ... , базисах;
и 
– вектор-столбцы из координат вектора L, записанные соответственно в «старом» , , ... , и «новом» , , ... , базисах.
При этом
, 
.
Тогда
, 
.
Следовательно,
,
или
.
Но C – невырожденная матрица, поэтому
,
или
.
Однако, как указывалось,
.
Значит,
.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!