Геометрический смысл производной
Пусть функция определена на интервале и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р – значению . Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол зависит от .
Если существует
то прямую с угловым коэффициентом
проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ).
Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .
Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел
,
причём предел равен углу наклона касательной к оси .
Теперь дадим точное определение касательной.
Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.е. прямая, уравнение которой
Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной. Таким образом,
где - угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.
Пример 3.Найти производную функции и значение этой производной при .
Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:
|
|
Найдём значение производной при :
Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Таблица производных простых функций
- Правила дифференцирования
- Пошаговые примеры - как найти производную
- Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
- Продолжаем искать производные вместе
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
|
|
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значаения в сумму производных и получаем искомую производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто | |
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго | |
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. | |
4. Производная переменной в степени -1 | |
5. Производная квадратного корня | |
6. Производная синуса | |
7. Производная косинуса | |
8. Производная тангенса | |
9. Производная котангенса | |
10. Производная арксинуса | |
11. Производная арккосинуса | |
12. Производная арктангенса | |
13. Производная арккотангенса | |
14. Производная натурального логарифма | |
15. Производная логарифмической функции | |
16. Производная экспоненты | |
17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
|
|
1. Производная суммы или разности | |
2. Производная произведения | |
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
3. Производная частного | |
4. Производная сложной функции |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
|
|
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.
Правило 2.Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей имеем:
Правило 3.Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке и ,то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 338; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!