Понятие несобственного интеграла и его геометрический смысл
Несобственные интегралы первого рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов с бесконечным верхним или нижними пределами интегрирования, или оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы второго рода: распространение понятия определённого интеграла на случаи интегралов от неограниченных функций, подынтегральная функция в конечном числе точек конечного отрезка интегрирования не существует, обращаясь в бесконечность.
Для сравнения. При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а отрезок интегрирования является конечным, то есть ограничен числами, а не бесконечностью. Некоторые задачи приводят к необходимости отказаться от этих ограничений. Так появляются несобственные интегралы.
Геометрический смысл несобственного интеграла выясняется довольно просто. В случае, когда график функции y = f(x) находится выше оси Ox, определённый интеграл 
выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и ординатами x = a, x = b. В свою очередь несобственный интеграл 
выражает площадь неограниченной (бесконечной) криволинейной трапеции, заключённой между линиями y = f(x) (на рисунке ниже - красного цвета), x = a и осью абсцисс.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
,
.
|
|
|
Площадь бесконечной криволинейной трапеции может быть конечным числом и в этом случае несобственный интеграл называется сходящимся. Площадь может быть и бесконечностью и в этом случае несобственный интеграл называется расходящимся.
Использование предела интеграла вместо самого несобственного интеграла. Для того, чтобы вычислить несобственный интеграл, нужно использовать предел определённого интеграла. Если этот предел существует и конечен (не равен бесконечности), то несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае - расходящимся. К чему стремится переменная под знаком предела, зависит от того, имеем мы дело с несобственным интегралом первого рода или второго рода. Узнаем об этом сейчас же.
Несобственные интегралы первого рода - с бесконечными пределами и их сходимость
Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом
Итак, запись несобственного интеграла как отличается от обычного определённого интеграла тем, что верхний предел интегрирования бесконечен.
Определение.Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке от a до ∞ называется предел интеграла этой функции с верхним пределом интегрирования b и нижним пределом интегрирования a при условии, что верхний предел интегрирования неограниченно растёт, т.е.
|
|
|
.
Если этот предел существует и равен некоторому числу, а не бесконечности, то несобственный интеграл называется сходящимся, а число, которому равен предел, принимается за его значение. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакого значения.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл 
(если он сходится).
Решение. На основании определения несобственного интеграла находим
Так как предел существует и равен 1, то и данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
В следующем примере подынтегральная функция почти как в примере 1, только степень икса - не двойка, а буква альфа, а задача состоит в исследовании несобственного интеграла на сходимость. То есть предстоит ответить на вопрос: при каких значениях альфы данный несобственный интеграл сходится, а при каких расходится?
Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 
(нижний предел интегрирования больше нуля).
Решение. Предположим сначала, что 
, тогда
В полученном выражении перейдём к пределу при 
:
|
|
|
Нетрудно видеть, что предел в правой части существует и равен нулю, когда 
, то есть 
, и не существует, когда 
, то есть 
.
В первом случае, то есть при имеет место 
.Если 
, то 
и 
не существует.
Таким образом, вывод нашего исследования следующий: данный несобственный интеграл сходится при и расходитсяпри 
.
Применяя к изучаемому виду несобственного интеграла формулу Ньютона-Лейбница 
, получаем
.
Это обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл 
(если он сходится).
Решение. С помощью метода замены переменной можно получить очень полезную формулу:
Доказывать эту формулу нет необходимости, но запомнить стоит - пригодится. Итак, применяя эту формулу для нахождения первообразной получим
Итак, несобственный интеграл сходится и равен 1.
Пример 4. Вычислить несобственный интеграл 
(если он сходится).
Решение. Находим
.
Но 
не существует, т. е. данный несобственный интеграл расходится.
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл 
(если он сходится).
Решение. Подынтегральная функция непрерывна в каждой точке, поэтому определённый интеграл от неё на отрезке [0, b] существует при всяком b. Находим этот интеграл:
.
Находим предел этого интеграла:
|
|
|
.
Следовательно, по определению, находим значение данного несобственного интеграла:
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Интеграл
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 560; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!