Глава 2. Примеры решения задач
Задача № 1
В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:
1.  - спроса,
|  - предложения,
|
где p – цена товара.
Найти:
1) Равновесную цену p0.
2) Эластичность спроса и предложения для этой цены.
3) Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение
1) Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.
Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла).
График зависимостей спроса и предложения от цены представлен на рис. 1.
Рис.1. Зависимости спроса и предложения от цены.
2) Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
2.1. Находим производные q’(p) и s’(p).
2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения.
2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене.
Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается (т.к. «-») на 0, 3%, а предложение возрастает (т.к. «+») на 0,8%.
3) Выведем общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значения p0 и E2(q):
Это означает, что при увеличении цены на 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,7%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 5×0,7%=3,5%.
Ответ:1) равновесная цена товара равна 2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%; 3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.
|
|
|
Задача № 2
Фирма реализует произведенную продукцию по цене p, а зависимость издержек C имеет вид 
, где q- объём производства.
Используя методы дифференциального исчисления:
1) выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы П от объема производства q построить ее график.
2) Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.
a=7; b=0,01; c=5; p=10
Решение
Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками, и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от объема производства:
1) Выполняем полное исследование функции П(q)
1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].
1.2. Находим первую и вторую производную П’(q) и П’’(q)
1.3. Находим критические точки, решая уравнение П’(q)=0
1.4. Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:
Из рисунка делаем выводы о том, что функция возрастает при 
, а убывает при 
; в точке q=10 функция имеет максимум.
|
|
|
Вычислим значение функции в этой точке:
1.5. Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнение П’’(q)=0
Так как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что график функции точек перегиба не имеет.
1.6. Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких—вогнутый.
Так как 
на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.
1.7. Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:
Таблица 1.
| q | П’(q) | П’’(q) | П(q) | Примечания |
| 0 | + | — | -5 | график выпуклый |
| (0;10) | + | — | ↑ | график выпуклый |
| 10 | 0 | — | 15 | максимум |
| (10;+∞) | — | — | ↓ | график выпуклый |
1.8. Строим схематический график функции
Рис.2. График зависимости прибыли от объема выпуска продукции.
2) Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный 10, при этом прибыль будет максимальна и составит 15.
Ответ в данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1634; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!