Приложения двойных интегралов
Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел
Для их нахождения используют формулы:
, 
.
Пример 1.Вычислить площадь области 
, ограниченной линиями 
, 
.
Решение. Строим область (см. рис. 6).
Рис. 6.
Заметим, что её удобнее спроектировать на ось 
, т.к. область правильная в направлении оси 
.
Решая совместно данные уравнения линий границ, найдем координаты точек их пересечения:
Þ 
, 
, 
Линия входа – парабола, 
– её уравнение, разрешенное относительно 
. Линия выхода – прямая, 
– её уравнение, разрешенное относительно . Отрезок 
– проекция области на ось . Таким образом, область задается в виде системы неравенств: 
.
Площадь вычисляем по формуле
.
Пример 2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
, 
.
Решение. По условию дано цилиндрическое тело, которое сверху ограничено плоскостью 
, с боков – параболическим цилиндром 
, образующие которого параллельны оси 
(см. рис. 7а). Основанием цилиндрического тела является проекция тела на плоскость , которая ограничена линиями: , 
(см. рис. 7б).
| 
|
| Рис. 7а. | Рис. 7б. |
Объем тела вычисляем по формуле:
.
Вычисление массы и статических моментов плоской пластинки
Из физики известно, что масса плоской пластинки равна интегралу от поверхностной плотности пластинки 
в точке 
по площади пластинки, т.е.
.
Статические моменты 
и 
плоской пластинки относительно осей и вычисляются по формулам
|
|
|
, 
.
Если пластинка однородна, то 
.
Пример.Найти массу неоднородной пластинки , ограниченной заданными линиями, если поверхностная плотность в каждой её точке 
,
(рис. 8): 
, 
, 
( 
); 
.
Решение.
.
Рис. 8.
Вычисление координат центра тяжести плоской пластинки
Если 
- центр тяжести (масс) пластинки, то его координаты определяются по формулам
, 
,
где 
- масса пластинки и , - её статические моменты относительно осей координат , соответственно.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести пластинки с постоянной плотностью 
, если (рис .9): 
, , 
, 
.
Решение. 
, .
Найдем массу пластинки:
Рис. 9.
.
Теперь находим статические моменты пластинки:
;
.
Следовательно, 
, 
.
Пример 2. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной линиями , 
, если плотность 
.
Решение.
Вследствие симметрии пластинки относительно оси (см. рис. 10) центр тяжести находится на оси , т.е. 
.
Координата .
Рис. 10. Находим массу пластинки:
.
Вычислим статический момент :
|
|
|
.
Следовательно, , 
.
Вычисление моментов инерции плоской пластинки
Моменты инерции плоской пластинки с плотностью относительно координатных осей и вычисляются по формулам:
, 
.
Пример.Найти момент инерции однородной пластинки с плотностью 
, ограниченной прямыми 
, , 
, относительно оси (рис. 11).
Решение.
Рис. 11.
Пример решения контрольной работы
Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями 
, 
,если поверхностная плотность в каждой её точке 
. Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.
Решение.
Рис. 12.
| а) Массу находим по формуле , где .
Область D:  имеет вид, изображённый на рисунке 12.
|
б) Для нахождения координат центра тяжести (масс) пластины D воспользуемся формулами
, ,
где - масса пластины, и - её статические моменты.
, .
.
Следовательно, 
, 
.
Наносим на координатную плоскость центр тяжести M 
.
Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
, 
, , 
, 
.
Решение.
Рис.13.
| Объём данного тела можно вычислить с помощью формулы ,
где – параболоид, область D – треугольник ОАВ (см. рис.13).
|
|
|
|
= 
.
Варианты контрольной работы
Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями с поверхностной плотностью в каждой её точке 
. Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.
1) D: 
, , , 
;
2) D: 
, , , 
;
3) D: 
, 
, , 
4) D: , , , , 
;
5) D: 
, 
, , 
;
6) D: , 
, 
;
7) D: , , , 
;
8) D: 
, , ;
9) D: , 
, , 
10) D: , , 
.
Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:
1) 
, , , ,
2) 
, , , ,
3) 
, , , ,
4) 
, 
, , ,
5) 
, 
, , ,
6) 
, 
, , ,
7) 
, , , ,
8) 
, 
, , ,
9) , , , ,
10) 
, 
, , ,
Список литературы
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов: [в 2 т.] . Т. 2 / Н. С. Пискунов . - Изд. стер. . - М. : Интеграл-Пресс , 2009 . - 544 с.
2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов /В.С. Щипачев. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.
3. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов. – Изд. 8-е, стер. – СПб.: Лань, 2006. – 239 с.
4. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие / А.П. Рябушко, в.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общей редакцией А.П. Рябушко. Ч.3. – Мн.: Выс.шк., 1991. – 288 с.: ил.
|
|
|
Оглавление
Введение …………………………………………………………………….. 3
1. Определение и свойства двойного интеграла…………………………... 3
2. Вычисление двойного интеграла ……………………………………..… 5
3. Примеры решения задач ………………………………………………… 6
4. Приложения двойных интегралов ………………………………………. 7
5. Пример решения контрольной работы ………………………………… 12
6. Варианты контрольной работы ………………………………………… 14
Список литературы ………………………………………………………… 15
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 3248; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!