Метод введення нових змінних
Приклад 4. Розв’яжіть систему
Розв’язування.Розв’яжемо дану систему методом введення нових змінних: Позначимо
.
Зробивши заміну, дістанемо нову систему:
Використаємо метод алгебраїчного додавання, для цього друге рівняння домножимо на (-2) і додамо до першого.
Після виконання додавання отримаємо рівняння з однією змінною ; Звідси .
Повернемось до попередніх змінних:
а друге рівняння на 3 і викоємо додавння.
Звідси 5х=25, х=5 і у=3. Отже коренями системи є (5;3)
Відповідь:(5; 3).
Графічний метод.
Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків: ці координати і є розв’язками системи. Але спочатку виконаємо рівносильні перетворення заданої системи так, щоб було зручно будувати графіки всіх рівнянь, що входять до системи. Потім будуємо відповідні графіки і знаходимо координати точок перетину відповідних кривих: ці координати і є розв’язками системи
Приклад 5. Розв’яжіть систему
Розв’язування. Обидва рівняння якої є рівняннями другого степеня. Графіком рівняння =25 є коло, а графіком рівняння у = 5 - – парабола (рис.1) Ці графіки мають три спільні точки: (0;5), (-3;-4), (3;-4).
Рис.1
Легко перевірити, що координати кожної з цих точок є розв’язком як першого, так і другого рівнянь системи. Тобто, система має 3 розв’язки.
|
|
Відповідь: (0;5), (-3;-4), (3;-4).
Але цей спосіб не є основним способом розв’язування системи рівнянь, тому що він не завжди дає точні результати.
Види систем рівнянь
Симетричною системою рівняньназивається система, всі рівняння якої симетричні.
Вираз f ( x,y) називається симетричним,якщо при заміні х на у, у на х він не змінюється.
Приклади симетричних виразів:
f( x,y) = х + у; f( x,y) = f( x,y) =
f( x,y) = + ху; f( x,y) = .
Вирази (x+y) і xy називаються основними симетричнимимногочленамиз двома змінними. Усі симетричні вирази з двома змінними виражаються через основні симетричні многочлени, наприклад:
= - ху; - 2ху;
= (х+у)( - 3ху) = - 3(х + у)ху.
Симетричною системою рівнянь називається система, усі рівняння якої симетричні. Розв’язати симетричну систему можна, наприклад, за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні основні симетричні многочлени.
Приклад 6. Розв’яжіть систему
Оскільки - 2ху, то, поклавши х+у= приходимо до такої ситеми: Із цієї системи знаходимо ; Звідси має сукупність ;
Перша система сукупності має розв’язки (3;5), (5;3); друга система розв’язків не має.
|
|
Відповідь:(3;5), (5;3).
Система двох рівнянь з двома змінними називається однорідною,якщо ліві частини її рівнянь, що містять змінні, є однорідними многочленами степеня п від двох змінних. Таким чином, однорідна система з двома змінними має вигляд
Приклад 7. Розв’яжіть систему
Розв’язування. Ліві частини обох рівнянь системи –однорідні многочлени другого степеня від змінних х і у. Якщо в першому рівнянні покласти=0, то дістанемо
Однак пара (0;0), що є розв’язком першого рівняння системи, не задовольняє другому рівнянню, тому що ( це не приведе до втрати коренів). Поділивши обидві частини першого рівняння на
2+ - =0 =0. Зробивши заміну – t - 2= 0 . Тоді у=2х (х або у=-х ( х
Таким чином, початкова система рівносильна сукупності двох систем рівнянь:
Перша з цих систем має два розв’язки: ;
Друга система несумісна. Звідси (1;2), (-1;-2) – розв’язок початкової системи.
Відповідь: (1;2), (-1;-2).
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ.
1.Що таке система двох рівнянь з двома змінними?
2.Що називається розв’язком системи двох рівнянь з двома змінними?
3. Що означає розв’язати систему двох рівнянь з двома змінними?
4. Які дві системи рівнянь називаються рівносильними?
|
|
5. Назвати основні способи розв’язування систем рівнянь з двома змінними.
В чому полягає кожний із способів?
ВПРАВИ.
Розв’язати систему рівнянь:
Середній рівень
1) 2) 3) 4)
Достатній рівень
5 ) 6) . 7) 8)
Високий рівень
9) 10) 11)
Перевірочна робота
ВАРІАНТ 1
Початковий і середній рівні .
1. Укажіть пару рівносильних рівнянь:
А)2х - 6=4 і х - 2=4; Б) 3х - 6=0 і 2х=4;
В) х2 - 9=0 і х+3=0; Г) х2 - 3х – 4=0 і х+1=0.
2. Яке рівняння не має коренів?
А) = 2; Б) = 1; В) х3 = 2; Г) = 1.
3. Укажіть систему, яка відповідає умові задачі: «Число х на 3 менше від числа у, а їхній добуток дорівнює 88. Чому дорівнюють ці числа?».
А) Б) В) Г)
4..Знайдіть множину розв’язків нерівності 3(х - 2) 4х – 9.
5. Розв’яжіть рівняння х4 - 8х = 0.
6. Розв’яжіть нерівність | x −1| 2 .
Достатній рівень
7. Розв’яжіть рівняння 0 .
8. Розв’яжіть систему рівнянь
9. Двоє робітників виготовили за перший день 100 деталей. За другий день перший робітник виготовив деталей на 20 % більше, ніж за перший день, а другий робітник - на 10 % більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили 116 деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник?
|
|
Високий рівень
У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.
10. Розв’яжіть рівняння
ВАРІАНТ 2
Початковий і середній рівні .
1. Яке рівняння рівносильне рівнянню sinx =2 ?
А) tg x = 2; Б) =2; В)2х + 3=2 Г) = -2.
2. Яке рівняння не має коренів?
А) = 0,9; Б) = −1; В) х3 = −0,9; Г) = −1.
3.Укажіть систему рівнянь, яка відповідає умові задачі: «Периметр прямокутника
дорівнює 28 дм, а діагональ дорівнює 10 дм. Знайдіть сторони а і b прямокутника».
А) Б) В) Г)
4.Знайдіть множину розв’язків нерівності 2(х + 3) 4х +10.
5. Розв’яжіть рівняння х3 – х2 = 0.
6. Розв’яжіть нерівність | x +2| 3 .
.
Достатній рівень
7. Розв’яжіть рівняння 23х−8∙22х−2х+8=0
8. Розв’яжіть систему рівнянь
9. Знайдіть двозначне число, якщо відомо, що цифра одиниць шуканого числа на 2 більше цифри його десятків і добуток числа на суму його цифр дорівнює 144.
Високий рівень
У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.
10 Розв’яжіть рівняння: 6sin2 x − 3sin x cos x − 5cos2 x = 2 .
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 831; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!