Пример. Рассмотрим примеры евклидовых пространств
Арифметическое пространство 
. Если 
и 
-- столбцы координат векторов 
и 
соответственно в стандартном базисе, то 
.
Пространство 
непрерывных функций на 
. Для любых двух функций 
полагаем 
.
Пространство многочленов степени не больше 
. Для любых двух многочленов 
полагаем .
Определение. Пусть 
-- -мерное евклидово пространство с базисом 
. Матрица Грамма базиса -- это матрица
Определитель 
матрицы Грамма 
называется определителем Грамма.
Определение. Вектора 
называются ортогональными, если 
. Длинавектора 
-- это неотрицательное число 
. Если 
, то уголмежду 
и 
определяется по формуле 
.
Теорема. Если векторы ортогональны, то 
.
Теорема. Если 
-- ортогональная система ненулевых векторов, то она линейно независима.
Теорема.[Неравенство Коши-Буняковского] Для любых векторов 
евклидова пространства справедливо неравенство 
. Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.
Следствие.[Неравенство Коши] Для всяких векторов чисел 
и 
справедливо неравенство 
.
Следствие.[Неравенство Буняковского] Для любых чисел 
и любых непрерывных функций справедливо неравенство 
.
Следствие.[Неравенство треугольника] Для всяких векторов евклидова пространства справедливо неравенство 
.
Определение. Унитарным пространством называется линейное пространство над полем комплексных чисел 
, на котором определена эрмитова положительно определенная функция. Она обозначается также 
.
|
|
|
31. Ортогональные и ортонормированные базисы
Евклидово пространство является линейным пространством. Поэтому правомерно говорить о его размерности и его базисах.Как и произвольные линейные пространства, евклидовы пространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные.
Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов, то этот базис называют ортогональным. В силу теоремы 3.4 любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима, и если она в п-мерном евклидовом пространстве состоит из пвекторов, то является базисом.
В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличие скалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.
Определение 3.7.Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждый вектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.
Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированном базисе в принципе не является существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты (разделив каждый вектор базиса на его длину). Однако дополнительная нормировка векторов упрощает изложение теории.
|
|
|
32.Билинейной формой в действительном линейном пространстве 
называется числовая функция 
удовлетворяющая следующим двум условиям:
Билинейная форма 
называется симметричной, если для любых векторов 
выполняется равенство
. 
Скалярное произведение 
в евклидовом пространстве является примером симметричной билинейной формы.
При заданном базисе 
всякая билинейная форма в 
мерном действительном линейном пространстве может быть записана в виде
где 
- координаты вектора 
а 
- координаты вектора 
в данном базисе. Числа 
зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам
Матрица 
называется матрицей билинейной формы в базисе .
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 303; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!