Свободные колебания стержня с линейным сопротивлением

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Уравнение свободных колебаний стержня с сопротивлением пропорциональным скорости смещения его элементов, мы запишем в таком виде

(2.1)

обозначив

Решение уравнения будем искать в виде разложения искомой функции по собственным формам главных колебаний однородного стержня без сопротивления, т. е. по формам, удовлетворяющим уравнению

(2.2)

где

Положив

(2.3)

получим, подставив это выражение в (2.1):

Последнее равенство, приняв во внимание (2.2), можно представить в такой форме:

откуда

При

где

Теперь решение (2.3) будет иметь вид

(2.4)

Постоянные и найдутся из начальных условий. Так, если в начальный момент

то

(2.5)

Для стержня жестко закрепленного на конце и свободного на конце

В этом случае

Колебания стержня затухают, и он асимптотически приближается к равновесному положению.

Уравнения форм колебаний с правой частью.Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила приложенная в точке Уравнения колебания стержня в этом случае можно написать следующим образом:

где импульсивная функция первого порядка. Чисто вынужденные колебания в отсутствии сопротивлений будут происходить по закону

где форма вынужденных колебаний. Подставив это выражение для в предыдущее уравнение, приходим к уравнению для формы колебаний

(3.1)

– дифференциальному уравнению с правой частью

Правую часть будем иметь и уравнение собственных форм свободных стержня, несущего сосредоточенные массы. Силы инерции этих масс в каком-либо из главных колебаний стержня изменяются по гармоническому закону с частотами главных колебаний. Формально они ведут себя так же, как и сосредоточенные возмущающие силы. Так, сила инерции массы , расположенной в точке

для главного колебания

имеет выражение

и уравнение собственных форм будет уравнением с правой частью, аналогичным уравнению (3.1):

(3.2)

Нужно только помнить, что в уравнении вынужденных колебаний частота возмущающей силы наперед заданная, известная величина, в уравнении же (3.2) она является наряду с искомой величиной.

Обозначим правую часть уравнения (3.1) через и будем искать его общий интеграл операционным методом. Положив

получим

откуда

(3.3)

В частности, когда то

(3.4)

где Такой вид имеет форма колебаний для всех Для участка стержня до точки приложения силы или массы, т. е. для Таким образом в рассматриваемом случае для формы колебаний мы будем иметь два выражения:

1) при

2) при (3.5)

Постоянные и найдутся из краевых условий задачи.

Предположим, что в точке к стержню приложена продольная единичная гармоническая возмущающая сила так, что функция - форма вынужденных колебаний системы. Пусть левый конец стержня жестко закреплен, правый свободен. Тогда ; вторую постоянную найдем из условия

Формулы (3.5) будут теперь иметь вид

1) Г при

2) Г при (3.6)

Если оба конца стержня свободны, то из условий (для крутильных колебаний)

найдем

Г (3.7)

Формулы (3.6) и (3.7) дают простой способ вычисления динамических напряжений в любом сечении стержня или вала при действии на него сосредоточенной возмущающей силы или момента. Впервые такие формулы были найдены А. Н. Крыловым.

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 402; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!