Свободные колебания стержня с линейным сопротивлением
Уравнение свободных колебаний стержня с сопротивлением 
пропорциональным скорости смещения его элементов, мы запишем в таком виде
(2.1)
обозначив
Решение уравнения будем искать в виде разложения искомой функции 
по собственным формам 
главных колебаний однородного стержня без сопротивления, т. е. по формам, удовлетворяющим уравнению
(2.2)
где 
Положив
(2.3)
получим, подставив это выражение в (2.1):
Последнее равенство, приняв во внимание (2.2), можно представить в такой форме:
откуда
При 
где 
Теперь решение (2.3) будет иметь вид
(2.4)
Постоянные 
и 
найдутся из начальных условий. Так, если в начальный момент
то
(2.5)
Для стержня жестко закрепленного на конце 
и свободного на конце 
В этом случае
Колебания стержня затухают, и он асимптотически приближается к равновесному положению.
Уравнения форм колебаний с правой частью.Такими уравнениями определяются прежде всего формы вынужденных колебаний стержня от гармонической возмущающей силы. Пусть, например, на стержень действует продольная гармоническая сила 
приложенная в точке 
Уравнения колебания стержня в этом случае можно написать следующим образом:
где 
импульсивная функция первого порядка. Чисто вынужденные колебания в отсутствии сопротивлений будут происходить по закону
где 
форма вынужденных колебаний. Подставив это выражение для 
в предыдущее уравнение, приходим к уравнению для формы колебаний
(3.1)
– дифференциальному уравнению с правой частью 
Правую часть будем иметь и уравнение собственных форм свободных стержня, несущего сосредоточенные массы. Силы инерции этих масс в каком-либо из главных колебаний стержня изменяются по гармоническому закону с частотами главных колебаний. Формально они ведут себя так же, как и сосредоточенные возмущающие силы. Так, сила инерции массы 
, расположенной в точке 
для главного колебания
имеет выражение
и уравнение собственных форм 
будет уравнением с правой частью, аналогичным уравнению (3.1):
(3.2)
Нужно только помнить, что в уравнении вынужденных колебаний частота возмущающей силы 
наперед заданная, известная величина, в уравнении же (3.2) она является наряду с искомой величиной.
Обозначим правую часть уравнения (3.1) через 
и будем искать его общий интеграл операционным методом. Положив
получим
откуда
и
(3.3)
В частности, когда 
то
(3.4)
где 
Такой вид имеет форма колебаний для всех 
Для участка стержня до точки приложения силы или массы, т. е. для 
Таким образом в рассматриваемом случае для формы колебаний мы будем иметь два выражения:
1) 
при 
2) 
при 
(3.5)
Постоянные 
и 
найдутся из краевых условий задачи.
Предположим, что в точке 
к стержню приложена продольная единичная гармоническая возмущающая сила 
так, что функция - форма вынужденных колебаний системы. Пусть левый конец 
стержня жестко закреплен, правый 
свободен. Тогда 
; вторую постоянную найдем из условия 
Формулы (3.5) будут теперь иметь вид
1) Г 
при 
2) Г 
при 
(3.6) 
Если оба конца стержня свободны, то из условий (для крутильных колебаний)
найдем
Г 
Г 
(3.7)
Формулы (3.6) и (3.7) дают простой способ вычисления динамических напряжений в любом сечении стержня или вала при действии на него сосредоточенной возмущающей силы или момента. Впервые такие формулы были найдены А. Н. Крыловым.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 415; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!