Свойства операций над матрицами. Образовательное учреждение высшего образования
Образовательное учреждение высшего образования
«Южно-Уральский институт управления и экономики»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению домашней контрольной работы № 1
по дисциплине
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Для студентов заочной формы обучения
Для направления:
38.03.01 «Экономика»
Челябинск
2017
Номер варианта соответствует начальной букве фамилии студента.
Начальная буква фамилии | Вариант задания |
А, Е, Л | Первый |
Р, Х, Э | Второй |
Б, Ж, М | Третий |
С, Ц, Ю | Четвертый |
В, З, Н | Пятый |
Т, Ч | Шестой |
Г, И, О | Седьмой |
У, Ш | Восьмой |
Д, К, П | Девятый |
Ф, Щ, Я | Десятый |
Задание №1. Выполнить операции над матрицами.
1 | * |
2 | |
3 | 5 |
4 | 2 |
5 | 6 |
6 | 3 |
7 | 4 * |
8 | 7 -5 |
9 | 6 |
10 | 7 |
Задание №2. Вычислить пределы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №3. Вычислить производную сложной функции.
1 | Y=(3x-4 )4 | Y= | Y=cos 3x* | Y=ln arctg2x |
2 | Y=( -2 )2 | Y= | Y= | Y= |
3 | Y=( )4 | Y= | Y= | Y= |
4 | Y= | Y= | Y= | Y= |
5 | Y= | Y= | Y= | Y= |
6 | Y= | Y= | Y= | Y=ln |
7 | Y= | Y= | Y= | Y= |
8 | Y= | Y= | Y= | Y=ln |
9 | Y= | Y= | Y= | Y=arc |
10 | Y= | Y= | Y= | Y=ln |
Задание №4.
|
|
А) Найти неопределенный интеграл заменой переменной
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 |
Б) Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 |
Задание № 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь области D).
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
Методические материалы:
Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра)имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
|
|
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
Элементы матрицы aij,у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
Равенство матриц.
A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Возведение в степень
m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
|
|
6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
Строки и столбцы поменялись местами
Пример
Свойства операций над матрицами
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Видыматриц
1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа
2. Квадратные: m=n
3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец: n=1. Например
5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например
6. Единичная матрица: m=n и
7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
Пример.
“ Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей”
Типы неопределенностей и методы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
|
|
I. Неопределенность вида
Пример 1. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2-25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5),на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: .Подставив х=5,получим результат: = = =
Пример 2. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
Пример 3. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом и его следствием . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
II. Неопределенность вида
Пример 4. Вычислить предел
Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности ( ) видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:
= = , т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.
“Вычисление производных сложных функций”
Таблица производных основных элементарных функций:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. | 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. |
“Интегрирование заменой переменной и по частям”
Таблица интегралов
1. 2. 3. 4. 5. 6. | 7. 8. 9. 10. 11. 12. | 13. 14. 15. 16. |
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример 1: Вычислите
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:
Пример 2: Вычислите
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы
2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих вомногих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример 3: Вычислите
Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ).
Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.
3. Метод интегрирования по частям
Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
Полученное равенство перепишем в виде:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.
Задание. Найти интеграл
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.
Ответ.
Задание. Найти интеграл
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.
Ответ.
Задание. Найти интеграл
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.
Ответ.
Задание. Найти интеграл
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.
Ответ.
“Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов”
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:
Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ,осями координат и прямой х=2.
Решение: Построим данные линии
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: , ,
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 200; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!