Разложение функций в степенные ряды.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд:

1) разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена

2) разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления.

Этот способ пригоден для разложения в ряд алгебраических дробей.

3) разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

Пример 2. Разложить в ряд функцию .

Решение. Применим к функции формулу Маклорена:

получаем:

Итого, получаем:

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Пример 3. Разложить в ряд функцию

Решение. Решим эту задачу при помощи интегрирования.

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции имеет вид:

Тогда получаем:

Окончательно получим:

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию .

Решение. Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

Подынтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:

Тогда

Окончательно получаем:

Замечание: В простейших разложениях вроде , или в нужные табличные разложения вместо α необходимо подставить , , и упростить полученные ряды.

Пример 5. Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Используем элементарное разложение: .

Область сходимости ряда:

В данном случае . Тогда

В числителях раскрываем скобки:

Теперь умножаем обе части на х:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Область сходимости: Разложение косинуса сходится при ЛЮБОМ значении α: , а значит и при . Домножение на х не играет никакой роли в плане сходимости. Поэтому область сходимости полученного ряда:

Пример 6. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Решение. В таблице находим похожее разложение:
Область сходимости ряда: , концы интервала нужно исследовать дополнительно.

Перепишем функцию немного по-другому:

Таким образом, и:

Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Смотрим на табличное неравенство . В нашем случае функция разложилась в ряд . Используя признак Даламбера, легко найти интервал сходимости ряда: .

Исследуем на концах интервала: Если подставить значения , , то в обоих случаях получится расходящийся гармонический ряд (знак перед рядом не влияет на сходимость).

Таким образом, область сходимости полученного ряда:

Пример 7. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Решение. Используем разложение: .

Данный ряд сходится при любом значении . В условии задачи

Область сходимости ряда: .

Пример 8. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Решение.

Используем разложение: . Область сходимости ряда: .
В данном случае

Конструируем функцию дальше:

Окончательно:

Поскольку разложение сходится при любом α, то область сходимости ряда:

Пример 9. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Решение. Используем частный случай биномиального разложения:

В данном случае Таким образом:

из таблицы находим: «Область сходимости ряда: . Сходимость ряда в точках , исследуется отдельно». В данном случае , то есть, ряд точно сходится при: . Делим все части на 3: и извлекаем из всех частей кубический корень: .
Подставляем концы интервала в полученный ряд .
Если , то:

Если , то
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Окончательно. Область сходимости полученного ряда:

Замечание: Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовать. Канонический случай – это разложение функции . Перед тем как ее раскладывать в ряд, необходимо понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы: .

Пример 10. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Решение. Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:

Вверху нужно получить единицу, поэтому представляем функцию в виде оизведения:
Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки:
И сокращаем на два:
В данном случае , таким образом:

В итоге искомое разложение:

Определим область сходимости ряда. Из таблицы известно, что биномиальный ряд сходится при . В данном случае , поэтому:
Умножаем все части неравенства на : – интервал сходимости полученного ряда.
Что происходит с рядом на концах интервала?
При
При
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости полученного ряда:

Пример 11. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости.

Решение. Преобразуем функцию:
Используем разложение:
В данном случае

Таким образом:

Или короче, в свёрнутом виде:
Найдем область сходимости полученного степенного ряда. По таблице находим, что использованное разложение сходится при . В данном случае , поэтому:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
При – расходится
При – сходится условно.
Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда:

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням

Общая формула Тейлора, о которой уже упоминалось:

Вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву .

В чём сложность разложения функции по степеням ? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить производные.

Пример 12. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

Решение. В данном случае , по формуле Тейлора:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем всё в формулу Тейлора:

Для проверки можно раскрыть скобки:

Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение. Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням

В данном случае:

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные:

, , . Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную n-порядка. В данном случае она выглядит так:
Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , , и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение: