Определение постоянных интегрирования

Начальные условия U_C(0+) = U_C(0-) = U_c(0) и i_L(0+) = i_L(0-) = i_L(0) служат для определения постоянных интегрирования Ак. Для изложения этих условий нужно сначала записать значения величин которые не могут изменяться скачком. Так для цепи второго порядка (рис. 1.8)

При нулевых начальных условиях можно записать

U_c(0)=U_Спр(0)+А₁+А₂=0

i(0)=i_пр(0)+c^.А₁^.p₁+ c^.А₂^.p₂=0

Из этих уравнений определяют A₁ и A₂.

Постоянные интегрирования можно найти, используя свободные составляющие токов и напряжений.

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: числовое значение искомого свободного тока при t=0+, обозначим его i_св(0+); числовое значение первой или высших производных от свободного тока при t=0+ обозначим i'_св(0+).

Приведем методику определения постоянных интегрирования А₁, А₂,…, полагая известными i_св(0+), i'_св(0+),..., и значения корней р₁, р₂,….

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение второго порядка и корни его действительны и не равны, то

(11)

Продифференцируем это уравнение по времени

(12)

Запишем уравнения (11) и (12) при t=0+ (учтём, что при t=0 ), получим

i_св(0+) = А₁+А₂;

i'_св(0⁺) ⁼ р₁А₁+р₂А₂.

Совместное решение уравнений (11) и (12) даёт

;

.

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными (9), то свободный ток записывается в виде

Угловая частота w_cb и коэффициент затухания β известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных производят в этом случае по значениям i_св(0+) и i’_св(0+).Продифференцировав по времени уравнение (13)получим

(14)

Запишем уравнения (13) и (14) при t=0+:

(15)

Совместное решение уравнений (15)даёт искомые значения А и γ.

 

 

1.5. Порядок расчёта переходных процессов классическим методом

 

Подготавливаем схему к расчету, указав в ней положительные направления токов и напряжений.

1. Рассчитываем схему до коммутации и определяем независимые начальные условия.

2. Составляем характеристическое уравнение для схемы после коммутации и определяем его корни.

3. Записываем решение для искомой величины в виде

х(t) = x_np(t) + x_св(t).

4. Определяем принужденную составляющую искомой величины (при t=∞)

5. Для послекоммутационной схемы составляем систему уравне­ний по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряже­ний.

6. Пользуясь начальными условиями, определяем постоянные интегрирования.

8. Получаем решение для искомой величины.

9. Определим один ток или одно напряжение. Если условиями задачи не оговаривается, какую величину надо определить, то расчет целесообразно начинать с определения тока в индуктивности или напряжения на емкости. Остальные токи и напряжения можно найти аналогично или по уравнениям п.5. Напряжение на индуктивности и ток в емкости определить из соотношений

10. Расчет заканчивается построением графиков найденных величин.

Пример расчета приведен в приложении 1.

1.6. Переходные процессы при «некорректных» начальных условиях

 

При расчете линейных цепей предполагают, что сопротивление электрической дуги при коммутации мгновенно изменяется от нуля до бесконечности, или наоборот. При неучёте малых параметров цепи представление в раде случаев приводит к нарушению ранее сформулированных законов коммутации. Такие случаи связаны с импульсными изменениями зарядов емкостей и потокосцеплений индуктивностей.

При решении задач рассматриваемого типа применяют обобщённые законы коммутации, которые позволяют определить значения токов через индуктивности и напряжений на ёмкостях (и их производных) при t=0+ через значения токов и напряжений при t=0-.

•

Обобщенные законы коммутации

1. Закон непрерывности суммарного потокосцепления имеет место при последовательном соединении двух и более индуктивностей (рис. 1.9).

 

Рис. 1.9

 

(16)

В общем случае предкоммутационные токи индуктивностей различны:

i₁(0-) ≠i₂(0-)/ После коммутации ток становится общим i(0+). За время коммутации Δt=0, происходит импульсный обмен энергиями между двумя индуктивностями. Разность суммарных энергий до и после коммутации, как и для случая размыкания ветви с индуктивностью, равна тепловым потерям в электрической дуге. Скачкообразное изменение потокосцеплений каждой индуктивности вызывает на них бесконечные импульсы напряжения нулевой длительности разного знака. Суммарное напряжение на индуктивностях U_L1+U_L2 конечно в течение всего времени, что следует из уравнения Кирхгофа для контура с индуктивностями [Л.5, с 191].

2. Закон непрерывности суммарного заряда имеет место при параллельном соединении двух и более емкостей (рис. 1.10).

 

Рис. 1.10

 

С1 U_c1(0-) + C₂U_c2(0-) = (С₁+C₂)U_c(0+) (17)

Предкоммутационные напряжения на емкостях в общем случае различны, после коммутации на емкостях одно и то же напряжение U_с(0+). За время коммутации, Δ=0, происходит импульсный обмен энергией между емкостями. Разность суммарных энергий до и после коммутации W(0-) - W(0+) равна тепловой энергии, рассеянной в сопротивлении электрической дуги. Перераспределение зарядов между емкостями сопровождается бесконечным импульсом тока нулевой длительности. Токи в сопротивлениях конечны [Л.5, с. 188].

Обобщённые законы включают в себя как частный случай ранее сформулированные законы коммутации. В этом можно убедиться, положив L₂=0 в (16) и С₂=0 в (17).

---

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!