Диаметр, проведенный через середину дуги, перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу, и делит ее пополам.
Оба эти утверждения легко доказываются от противного.
Из этих теорем следует, что расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.
| Т е о р е м а 4. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Точки С и D, а также точки А и В симметричны относительно диаметра EF. Следовательно, дуга АС совместится с дугой BD, т.е. эти дуги равны. |
|
Сформулируем еще несколько теорем, выражающих свойства хорд и дуг окружностей.
Т е о р е м а 5. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.
Т е о р е м а 6. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги.
Т е о р е м а 7. Если две хорды не равны, то большая из них стягивает большую дугу, если эти дуги меньшие полуокружности, и наоборот.
Т е о р е м а 8. Из двух неравных хорд окружности большая хорда ближе к центру окружности и наоборот.
|
|
|
В заключение сформулируем еще одну теорему о диаметре окружности.
Т е о р е м а 8. Диаметр есть наибольшая их хорд.
| Пусть хорда АВ не проходит через центр О окружности. Рассмотрим треугольник ОАВ. В этом треугольнике стороны ОА и ОВ есть радиусы данной окружности. По неравенству треугольника имеем, что АВ < ОА + ОВ = 2R. Таким образом, любая хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра. Так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр – наибольшая из хорд. |
Описанная окружность
Говорят, что многоугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности (см. рис.). Тогда об этой окружности говорят, что она описана около многоугольника.
| Ясно, что около многоугольника можно описать окружность, если найдется точка, равноудаленная от всех его вершин. Для каждой стороны многоугольника точки, равноудаленные от ее концов, будут располагаться на серединном перпендикуляре к этому отрезку. |
Следовательно, около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон имеют общую точку. Эта точка и будет центром описанной окружности.
|
|
|
Покажем, что около любого треугольника можно описать окружность.
| S О |
| Пусть дан треугольник АВС. Через вершины треугольника АВС можно провести окружность, если существует такая точка О, которая одинаково удалена от точек А, В, С. Докажем, что такая точка существует и притом только одна. Точка, равноудаленная от точек А и С, должна |
лежать на перпендикуляре SD, проведенном через середину отрезка АС. Аналогично точка, равноудаленная от точек В и С, должна лежать на перпендикуляре QR, проведенном через середину отрезка ВС.
Значит, если существует точка, одинаково удаленная от точек А, В, С, то она должна лежать одновременно и на SD и на QR, т.е. должна совпадать с точкой их пересечения О. Прямые SD и QR всегда пересекаются, т.к. они перпендикулярны к пересекающимся прямым АС и ВС.
Т.о. точка О одинаково удалена от точек А, В, С. Если примем эту точку за центр, а отрезок ОА (ОВ, ОС) за радиус, то окружность пройдет через точки А, В, С.
Так как прямые SD и QR могут пересечься только в одной точке, то центр такой окружности может быть только один и длина ее радиуса определяется однозначно. Значит, искомая окружность – единственная.
|
|
|
Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины, пересекаются в одной точке.
Действительно, точка О, находясь на одинаковом расстоянии от точек А и В, должна также лежать на перпендикуляре ОР, проведенном к стороне АВ через ее середину.
Замечание. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника только тогда, когда треугольник остроугольный; в тупоугольном треугольнике он лежит вне его, а в прямоугольном – на середине гипотенузы.
| / g0DY2IqyEUVk6/VRDkKbXqaajD3SFxnrmV9BtSf2EPrhpWUjoQH8yllHg1ty/2UjUHFm3lrqwDQf j+OkJ2U8uRyRgueW1blFWElQJQ+c9eIi9NuxcajXDUXKU7kWrqlrtU5kxo72WR2TpeFMHTkuUpz+ cz15/Vr3+U8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQAxbR+63gAAAAkBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYu eG1sTI9BT4NAEIXvJv6HzZh4s0vBIkWWprEx0UMPor1v2SmQsrOE3VL8944nPc57X968V2xm24sJ R985UrBcRCCQamc6ahR8fb4+ZCB80GR07wgVfKOHTXl7U+jcuCt94FSFRnAI+VwraEMYcil93aLV fuEGJPZObrQ68Dk20oz6yuG2l3EUpdLqjvhDqwd8abE+VxerYNdsq3SSSVglp91bWJ0P+/dkqdT9 3bx9BhFwDn8w/Nbn6lByp6O7kPGiV5CuUyYVxDEvYD9+TFk4Mpg9ZSDLQv5fUP4AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAg2DvhSkCAAA2BAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uy b0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAMW0fut4AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACDBAAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAI4FAAAAAA== "/> |
В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
|
|
|
Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом, так как точка, равноудаленная от трех его вершин, находится на диагонали ромба на неодинаковом расстоянии от ее концов (сделать рисунок!).
Сформулируем и докажем утверждения, устанавливающие свойство четырехугольника, вписанного в окружность, и условие возможности вписания четырехугольника в окружность.
Т е о р е м а 2. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
| Для доказательства воспользуемся теоремой о вписанном угле. Ð А = 1/2È ВСD, Ð С = 1/2È BAD. Значит, Ð А + Ð С = 1/2 (È ВСD + È BAD) = 3600/2 = 1800. |
Т е о р е м а 3. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.
Доказательство.
|
|
Пусть в четырехугольнике ABCD Ð А + Ð С = Ð D + Ð В = 1800.
Проведем окружность через любые три вершины четырехугольника, например через вершины А, С и D. При этом четвертая вершина В может оказаться в одном из трех положений: лежать на окружности, вне круга, ограниченного построенной окружностью, и внутри этого круга.
Рассмотрим случай, когда вершина В находится вне круга. Пусть сторона АВ пересекает окружность в точке F, а сторона ВС – в точке Е.
Тогда Ð В = 1/2 (È СDА − È EF).
Следовательно, Ð D + Ð В = 1/2 (È СЕА + È СDА − È EF) = 1/2(3600 − È EF) < 1800, что противоречит условию: Ð D + Ð В = 1800. Значит, предположение неверно, и вершина В не может находиться вне круга.
Для случая, когда вершина В находится внутри круга, рассуждения аналогичны:
Ð В = 1/2 (È СDА + È EF).
Следовательно, Ð D + Ð В = 1/2 (È СЕА + È СDА + È EF) = 1/2(3600 + È EF) > 1800, что противоречит условию: Ð D + Ð В = 1800. Значит, предположение также неверно, и вершина В не может находиться внутри круга.
Таким образом, единственно возможное расположение вершины В – на окружности, что и требовалось доказать.
Из данной теоремы следует:
1) из всех параллелограммов только вокруг прямоугольника (значит, и квадрата) можно описать окружность;
2) около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
Дата добавления: 2015-12-19; просмотров: 15; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!