Определить вид и решить уравнения

Вопросы к экзамену по вычислительной математике

Определить вид и решить уравнения

, [y(-3)=12]

, (1; 2)

…

y(0)=2, y’(0)=0:

Частным решением уравнения: с начальными условиями ; является функция…

Частным решением уравнения , удовлетворяющим начальному условию у (0) = -1, является…

Общим решением дифференциального уравнения является…

Общим решением ЛНДУ: y′′+py′+qy= f(x), где f(x) = x² + e^-2x и k₁=0, k₂=2 является…

Общим решением уравнения y′′cos²x = 1 является…

Общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:

y′′′ = f(x) имеет вид…

Общим решением уравнения является функция…

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим начальным условиям у(0) = -1, является функция…

Общим решением уравнения является…

156. Частным решением уравнения , (), является…

Общее решение уравнения имеет вид…

Частное решение уравнения при заданных начальных условиях имеет вид…

2. Дайте определение понятиям и выскажитесь об истинности высказываний

дифференциальным уравнением второго порядка

решением дифференциального уравнения

достаточный (ые) признак (и) представимости функции тригонометрическим рядом

Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа выражается в следующем

Погрешность метода Рунге-Кутта на каждом шаге составляет:

Геометрический смысл метода Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений:

Геометрический смысл метода Рунге-Кутта приближенного решения дифференциальных уравнений:

Какое утверждение не используется при отделении корней

Какой из методов приближенного решения уравнения является недостаточно точным:

Приближенное значение методом хорд находится по формуле:

Укажите интерполяционный многочлен Лагранжа:

Норма функции – это:

Какой из методов решения обыкновенных ДУ является методом повышенной точности, с использованием двойного счета:

Интеграл по формуле левых и правых прямоугольников находится по формуле

Из теоремы Дирихле выберете только так называемые «условия Дирихле»:

Если функция f(x) удовлетворяет двум условиям Дирихле, тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на [-пи; пи] и при этом

Если функция f(x) с периодом 2пи на [0; 2пи] удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение, где коэффициенты вычисляются по формулам:

С помощью метода Штурма можно:

Верно ли

а) - базис на М Û

б) f(x) называется кусочно-непрерывной на [a,b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением конечного числа точек разрыва.

в)

г)

Верно ли

а) Величины А_n, φ_n полностью определяют гармонику

б) {A_n} - амплитудный спектр функции

в) Амплитудный, частотный, фазовый спектры функции f(x), представимой рядом Фурье не всегда дискретны.

г) - гармоника

д) Спектральный анализ функции Û разложению функции в ряд Фурье

Верно ли

1) Абсолютной погрешностью D приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а.

2) Предельная абсолютная погрешность приближенного числа есть всякое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа.

3) Относительной погрешностью d данного приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности D этого числа к модулю соответствующего точного числа А¹0.

4) Существуют следующие виды погрешностей: погрешность задачи; погрешность метода; остаточная погрешность; начальная погрешность; погрешность округления; погрешность действий; погрешность решения.

5) Конечная десятичная дробь это

6) Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представлением сохраненного разряда.

7) Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

8) При округлении числа а число а₁ выбирают так, чтобы погрешность округления была минимальной.

Верно ли

а) Алгебраическая погрешность алгебраической суммы конечного числа приближенных чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

б) Предельная относительная погрешность разности , где А – точное значение абсолютной величины разности чисел х₁и х₂

в) Относительная погрешность произведения конечного числа приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает произведения относительных погрешностей этих чисел.

г) Относительная погрешность частного не превышает разности относительных погрешностей делимого и делителя.

д) Число верных знаков частного , где х и y имеют не менее m верных цифр, причем a и b - первые значащие цифры, будет при a³2 и b³2 не менее (m-1), при a=1 или b=1 ровно (m-2).

Верно ли

а) Суть метода хорд состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорд с осью абсцисс.

б) В методе итераций не происходит накопления ошибок.

в) Если для уравнения , заданного на [a,b] выполняются условия: - дифференцируема на [a,b]; , то его можно решить методом простой итерации.

г) Метод простой итерации применим для решения всякого алгебраического уравнения.

д) Погрешность метода итераций вычисляется по формуле

Верно ли

а) Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой.

б) Решением уравнения является функция - производная для функции f(x).

в) Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются дифференциальными уравнениями.

г) Первый многочлен Ньютона применяется для интегрирования «назад».

д) Второй многочлен Ньютона применяется для интегрирования «вперед».

е) Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной с=с₀.

ж) Геометрический смысл задачи Коши: при выполнении условий существует интегральная кривая ДУ, проходящая через точку .

Верно ли

а) Метод И.Бернулли и метод Лагранжа – методы интегрирования ДУ

б) - линейное однородное ДУ первого порядка

в) - уравнение Клеро, являющееся частью сложного уравнения Лагранжа

г) Метод понижения порядка – один из методов интегрирования ДУ высших порядков

д) Если дифференцируемые функции и - линейно-зависимые на (a, b), то определитель Вронского на этом интервале ¹ 0.

е) Ю.Вронский – польский математик

ж) Функции и - линейно зависимые

з) , , - три типа уравнений, понижение порядка

Верно ли

1) Определитель Вронского может обращаться в нуль и в том случае, когда данные функции ЛНЗ на некотором промежутке.

2) Если система функций - линейно зависима на [a, b], то определитель Вронского этих функций º 0 на этом отрезке. Обратное утверждение неверно.

3) Первый многочлен Ньютона применяется для интерполирования «вперед».

4) Функции и называются линейно независимыми на (a, b), если , где .

5) - есть ЛОДУ второго порядка.

6) Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков.

7) Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если исковая функция зависит от двух переменных.

8) Второй многочлен Ньютона применяется для интерполирования «назад».

Верно ли

1) Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной называется нормальной системой ДУ.

2) Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

3) Решением системы называется совокупность из n функций y1,y2,…,yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

4) Систему уравнений можно решить методом интегрируемых комбинаций.

5) Общее решение ДУ – это функция.

6) Скалярное произведение двух функций f(x) и g(x) это функция, равная интегралу от а до b f(x)*g(x)dx.

7) Нормой функции называют число.

Верно ли

а) Функция называется однородной функцией n-ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель l вся функция умножится на lⁿ.

б) Особые решения – решения, полученные из общего решения ДУ.

в) Определитель Вронского может обращаться в нуль и в том случае, когда данные функции ЛНЗ на некотором промежутке.

г) Функция и называются линейно-независимыми на (a,b), если , где .

д) Метод Лагранжа называют методом вариации не произвольной постоянной.

е) нет правильных ответов.

ж) все утверждения верные.

Верно ли

а) Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ

б) - уравнение в частных производных первого порядка

в) Особым решением называется решение, во всех точках которого условие единственности выполняется

г) Особые решения получаются из общего решения ДУ

д) Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых

е) Решение ДУ, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения

ж) Закон Ньютона: скорость охлаждения пропорциональна разности температур

Верно ли

а) Уравнение Лагранжа – ДУ 1-го порядка.

б) Уравнение Лагранжа линейное относительно Х и Y.

в) Коэффициентами уравнения Лагранжа служат функции от y’: .

г) Уравнение Клеро не является частным случаем уравнения Лагранжа.

д) Общим решением уравнения Клеро служит касательная к особому решению.

е) - это уравнение Бернулли.

ж) Уравнение Клеро, кроме общего решения имеет еще особые решения.

Верно ли

а) Периодический процесс – процесс, который через определенный промежуток времени повторяется.

б) Функция y=f(x), определенная на множестве Д, называется периодической с периодом Т>0, если при каждом xÎД значение (х+Т)ÎД и выполняется f(x+T)=f(x-T).

в) Простейшие периодические функции – тригонометрические функции sinx и cosx.

г) С помощью тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда.

д) Тригонометрический ряд с коэффициентами Фурье а₀, а_n, b_n называется рядом Фурье.

е) Одно из условий теоремы Дирихле: f(x) – ограниченная функция на всем отрезке.

ж) Теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

Верно ли

а) Функция f(x) называется четной, если при подстановке вместо х величины (-х) знак функции меняется

б) Функция f(x) называется нечетной, если при подстановке вместо х величины (-х) знак функции не меняется

в) Произведение двух четных функций - есть четная функция.

г) Произведение двух нечетных функций - есть четная функция.

д) График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

е) График четной функции симметричен относительно начала координат.

ж) Функция - четная функция, коэффициент .

Верно ли

1) Метод подбора частного решения – метод неопределенных коэффициентов

2) Для отыскания частного решения используют теорему о наложении решений

3) Метод неопределенных коэффициентов применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

4) Линейные неоднородные уравнения – уравнения с правой частью

5) ФСР – фундаментальная система решений – есть совокупность n-решений ЛОУ n-го порядка, определенных и линейно зависимых в промежутке (a; b)

6) Функции называется ЛНЗ в промежутке (a; b), если они не связаны никаким тождеством , где - какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно.

7) Термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу

8) Решение ДУ – есть функция.

Верно ли

1) График четной функции симметричен относительно начала координат

2) Функция - четная функция, коэффициент

3) Функция f(x) – четная, если при подстановке вместо х величины (-х) знак функции меняется

4) График четной функции симметричен относительно начала координат

5) Одно из условий теоремы Дирихле: f(x) - ограничивается на всем отрезке

6) Порядок ДУ – наивысший порядок первообразной, входящей в уравнение

7) С помощью метода Штурма можно найти нижнюю границу интервала изоляции действительного корня

Верно ли

а) Полем направлений в области G называется функция, ставящая в соответствие каждой точке М этой области определенное направление

б) Линия γ называется интегральной кривой данного поля направлений, если направление касательной к ней в любой ее точке М совпадает с направлением поля в точке М

в) Возможно отыскание особых точек решения дифференциального уравнения численными методами

г) Понятие интегральной кривой является более общим, чем понятие графика решения дифференциального уравнения

д) Точки, в которых поле не имеет определенного направления, называются особыми точками этого поля

Верно ли

а) Ряд Фурье определен для любой интегрируемой функции, заданной на [-l, l]

б) Ограниченная 2π-периодическая функция, кусочно монотонная на отрезке [-π, π], разлагается в ряд Фурье во всех точках непрерывности

в) Если f(x) четная, то

г) Всякая ограниченная функция является суммой своего ряда Фурье

д) Всякая непрерывная на [a, b] функция может быть представлена в виде ряда Фурье

Верно ли

а) Если функция задана таблицей, то степень интерполяционного многочлена Ньютона берем равной той конечной разности, значения которой приблизительно постоянны

б) Условие является необходимым и достаточным для сходимости итерационной последовательности

в) Итерационная последовательность сходится, если для итерационной матрицы выполняется условие:

г) Число итераций тем меньше, чем меньше норма соответствующей матрицы

д) Интерполяционные многочлены составляются для монотонных функций

Верно ли

а) Приближение числа х с точностью до 0,01 можно считать приближением этого числа с точностью до 0,001

б) Приближение числа пи – 3,14159 в виде 3,14 лучше, чем 3,15

в) При переносе запятой влево или вправо меняется количество верных цифр числа

г) При округлении приближенного числа погрешность округления уменьшается

д) Если в записи числа 73,18 цифра 1 – верная, то цифры 3,7,8 – верные

Вычислите

Ускорение прямолинейного движения материальной точки выражается формулой а =(2t-10) м/сек². Найдите мгновенную скорость точки при t=10 сек, используя следующие условия: при t=0 сек, s=4 м, а при t=3 сек, s=13 м…

Автомобиль массой m кг в момент выключения двигателя шел со скоростью 20 м/сек. Через 25 сек скорость автомобиля уменьшилась до 5 м/сек. Принимая, что сопротивление движению автомобиля пропорционально его скорости, найдите уравнение скорости автомобиля без работы двигателя

Из данных приближенных чисел, абсолютная погрешность которых не превосходит e =0,001, укажите все содержащие не менее n = 4 верных цифр:

а) 0,5431

б) 4,72

в) 11,5631

г) 1,5201

д) 1,30

Из данных приближенных чисел, абсолютная погрешность которых не превосходит e =0,003, укажите содержащие не менее m = 3 верных цифр:

а) 5,3705

б) 0,4261

в) 11,57311

г) 19,724

д) 0,6

Из данных приближенных чисел с абсолютными погрешностями, меньшими е = 0,006, укажите те, которые неверно округляют заданные числа:

а) А=2,536, а=2,54

б) А=4,7359, а=4,74

в) А=3,5276, а=3,528

г) А=3,06, а=3,1

д) А=10,5293, а=10,5

Укажите приближения, проведенные с точностью до е = 0,0003

а) А=5,62410, а=5,62

б) А=35,4205, а=35,42

в) А=9,24071, а=9,2407

г) А=1,2400, а=1,24

д) А=0,5326, а=0,533

Со сколькими десятичными знаками надо взять корень квадратный из 20, чтобы погрешность не превышала 0,1%.

Среди данных приближенных чисел со всеми верными знаками укажите, те, относительная погрешность которых превзойдет б = 1%:

а) А=0,5241, а=0,52

б) А=0,130, а=0,13

в) А=7,321, а=7,3

г) А=0,015, а=0,02

д) А=4,27, а=4,3

Среди данных выражений укажите те, относительная погрешность которых не превзойдет б = 2%

а) 0,53+0,724

б) 3,12*0,42

в) 2,351/0,20

г) 0,731*0,14

д) 2,3-0,67

Интервал изоляции действительного корня уравнения находится в интервале:

Решая методом Рунге-Кутта уравнение при y(1)=0 в [1; 2] с шагом h=0,2, числа K₁ и K₂ равны …

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при y(0)=1, h=0,1.

Число 247896 = а с тремя верными цифрами следует записать..

Для функции, имеющей аналитическое выражение - , задана интерполяционная таблица

х_к
y_к

Вспомогательный многочлен f(х) имеет вид:

Дано уравнение . Исследовать вопрос о существовании и и количестве корней

Точное решение системы это …

Шаг для интеграла при n=8 равен:

Укажите чему равен шаг h при n=9 для

По методу Рунге-Кутта число k₁ для уравнения при y(0)=1 в промежутке [0;1], с шагом h=0,2 равно:

Вычислить значение выражения, если все цифры данных верны а=28,75; b=16,23; с=1,7

Пользуясь правилами подсчета верных цифр, вычислите значение выражения

Вычислить с точностью до 0,001: 0,8348+2,9479

Укажите числа с тремя верными цифрами

а) 72345 плюс минус 27

б) 2,873 плюс минус 0,003

в) 28,70 плюс минус 0,01

г) 3,285 плюс минус 0,05

д) 242 плюс минус 12

Укажите границы корней уравнения:

Пользуясь схемой Горнера вычислить значение многочлена при х=1,5

Методом Эйлера для уравнения найти y(1), если y(0)=1, h=0,1, n=5

Вычислите с точностью до 0,01 интеграл

Все цифры данных верны а=28,75; b=16,23; с=1,7,значение выражения равно…

По правилам подсчета верных цифр, значение выражения равно…

Численное значение выражения 0,8348+2,9479 с точностью до 0,001 равно…

Относительная погрешность числа 0,4357, имеющего все верные цифры в узком смысле, равна…

Относительная погрешность числа 12,384, имеющего все верные цифры в узком смысле, равна…

Округлив сомнительные цифры числа а=2,3544 с относительной погрешностью 0,002 и оставив верные знаки в широком смысле, получим…

Интервал изоляции корня уравнения х³-0,2х²+0,5х+1,5=0 равен…

Многочлен, принимающий значения, заданные таблицей имеет вид…

x
y	-7

По данным таблицы интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид…

x
y

у=х²+х+1

Сумма относительной и абсолютной погрешностей числа 2,720, записанного в верных знаках равна..

Произведение относительной и абсолютной погрешностей числа 0,32, записанного в верных знаках равна…

Разность абсолютных погрешностей чисел 2,51 и 32,241, записанных в верных знаках равна…

Сумма относительных погрешностей чисел 2,12 и 0,38 равна…

Произведение относительных погрешностей чисел 1,1 и 0,2 записанных в верных знаках равно…

Из данных чисел 1)3,24 2)5,1 3)0,23 4)1,725 5)0,243 6)1,372 7)4,02 8)21,62 записанных в верных знаках, наибольшую относительную погрешность имеет…

Из данных чисел 1)3,24 2)5,1 3)0,23 4)1,725 5)0,243 6)1,372 7)4,02 8)21,62 записанных в верных знаках, наименьшую относительную погрешность имеет…

Расположив числа 1)3,24 2)5,1 3)0,23 4)1,725 5)0,243 6)1,372 7)4,02 8)21,62 в порядке возрастания относительной погрешности, получим…

Для данных чисел 1)3,24 2)5,1 3)0,23 4)1,725 5)0,243 6)1,372 7)4,02 8)21,62, сумма абсолютных погрешностей равна… Расположив абсолютные погрешности приближенных чисел а) 241,7; б)0,035; в)3,14; г)3,2471 в порядке возрастания, получим… Расположив относительные погрешности чисел а) 241,7; б)0,035; в)3,14; г)0,2 в порядке убывания, получим…

Определите:

Как ведут себя функции на [0; 2].