Освальд Шпенглер. О культурно-историческом смысле чисел.

(По мотивам «О смысле чисел» - первой главы его книги «Закат Европы» 1918г.)

Освальд Шпенглер (29.05.1880 – 08.05.1936) – немецкий философ, представитель философии жизни. В качестве фундамента исторического метода Шпенглера выступал концепт «смысла чисел», ещё более дистанцирующий друг от друга природу и историю. По мысли Шпенглера, духовная жизнь человека, наделённого «бодрствующим сознанием», разворачивается во времени и в определенном направлении. Как результат, в сознании индивида конституируется присущая только ему, его личная картина мира: либо образно-символическая, либо рационально-понятийная. Посредством типа математического числа или слова фиксируется образное мирочувствование уже ставшего, осуществленного — «природа», согласно Шпенглеру, «исчислима». История же как динамичное осуществление возможной культуры сопряжена с хронологическими величинами и чужда однозначным расчетам.

В главе «О смысле чисел» своего сочинения «Закат Европы» Шпенглер сравнивает античную и западную, фаустовскую математику, описывает их развитие и отличия друг от друга. Циклы существования этих двух видов математики он представляет следующей исторической схемой:

Античность	Запад
1. Концепция нового числа
Около 540 г. до н.э. Число как величина Пифагорейцы (ок. 470 г. до н.э. победы скульптуры над фресковой живописью)	Около 1630 г. до н.э. Число как отношение Декарт, Ферма, Паскаль; Ньютон, Лейбниц (1670) (ок. 1670 г. победа музыки над живописью маслом)
2. Высшая точка систематического развития
450-350 гг. до н.э. Платон, Архит, Эвдокс (Фидий, Пракситель)	1750-1800 Эйлер, Лагранж, Лаплас (Глюк, Гайдн, Моцарт)
3. Внутреннее завершение числового мира
330-250 гг. до н.э. Эвклид, Аполлоний, Архимед (Лисипп, Леохар)	После 1800 Гаусс, Коши, Риман (Бетховен)

Тезисы:

1. У каждой культуры собственная математика. У каждой культуры собственное мирочувствование, собственный тип математического мышления. Отсюда и своя математика и свое понятие числа для каждой культуры.

2. Античное число как величина. Для античного человека число представляет собой единицу меры: величину, отрезок, поверхность. Эта единица тесно связана с существующими, наблюдаемыми объектами, с «оптическими частностями». С другой стороны, говоря о различных иррациональных числах (бесконечно большие дроби итд), необходимо процитировать Евклида: «несоизмеримые отрезки ведут себя не как числа».

3. Картина мира Аристарха Самосского. Он одно время придерживался гелиоцентрической системы мира и создал теорию о замкнутости космоса, представив его как ограниченный пустой шар, в центре которого располагается плантерная система. Хоть по словам Шпенглера эта система могла даже стать опасной для мирочувстсования его культуры, но необходимо подчеркнуть то, что Аристарх подгонял ее к античному мирочувствованию (до сих пор нет бесконечности).

4. Диофант и арабское число. У Диофанта число уже не является мерой и сущностью пластических вещей. При этом ему еще не известны понятия нуля и отрицательных чисел. Но греческие обозначения «незаметно потеряли свое изначальное содержание» (дроби он рассматривал наравне в числами,). Труды Диофанта были переведены на арабский и продвинули арабскую математику, которая впоследствии с испанскими арабами пришла в Европу.

5. Западное число как функция. Благодаря Декарту оформилась концепция новой идеи чисел, благодаря которой число от смысла величины уходит в абстракцию. Точка – группа сопряженных чистых чисел. Геометрия – процедура, определяющая посредством числе положение точек в каком-либо пространстве, либо наоборот, определяющая числа положением точек. Давно известные тригонометрические функции стали использоваться в разложениях в ряды (в том числе и бесконечные). Числа π и e (половина длины единичной окружности и основание натурального логарифма) стали использоваться в функциях, не имеющих никакого отношения ни к логарифмам, ни к окружностям.

6. Классические проблемы предела. Еще в античное время рассматривались проблемы пределов, хотя они так и не назывались, в частности при определении площади круга через сумму площадей прямоугольников, его составляющих. Без понятия бесконечности, естественно, особых успехов на этом поприще античным математикам не удалось добиться. Проблему решил Коши, введя понятия предела, представив его не как число, а как процесс, операцию.

7. Преодоление границы зримого. Путь западного мышления – превращение геометрии в аналитическую науку, которая избавит от конкретных форм и перейдет как абстрактно-пространственным отношением, неподвластным чувственно-наличному созерцанию. «Однако тотчас же координаты рассматриваются исключительно как чистые значения, не столько определяющие, сколько выражающие и заменяющие положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, символически представляется уже не образом фигуры, а образом уравнения».

8. Символические пространственные миры. Преодоление границ зримого привело и к преодолению понимания пространства. Пространство, обозначаемое как a³ легко было преобразовано в aⁿ, тем самым окончательно избавившись от безусловной трехмерности и представления точки как некоего оптического пространственного пересечения. Группа чисел - из n-ного количества независимых упорядоченных элементов - есть образ точки; она называется точкой. Логически разложенное из нее уравнение называется плоскостью, есть образ плоскости. Совокупность всех точек n-измерений называется n-мерным пространством.

9. Последние возможности. Теория функции расширяется в теорию групп – множества или совокупности однородных математических образований. Задача математики сводится к исследованию этих групп и их свойств.

Ниже представлены отрывки из текста для более подробного ознакомления (3 стр):

У каждой культуры – собственная математика. Не существует и не может существовать никакого числа в себе. Есть множество миров чисел, так как есть множество культур. Мы обнаруживаем индийский, арабский, античный, западный тип математического мышления и вместе тип числа, каждый по самой сути своей представляющий нечто самобытное и единственное, каждый являющийся выражением особого мирочувствования, символом некой значимости, точно ограниченной также и в научном отношении, принципом устроения ставшего, в котором отражается глубочайшая сущность одной-единственной, а не какой-нибудь еще души, той самой, которая является средоточием именно этой, а не какой-нибудь иной культуры. Таким образом, существует более чем одна математика.

Античное число как величина. Теперь можно будет понять, что отделяет одну математику от другой, в особенности античную от западной. Зрелое античное мышление согласно всему своему мирочувствованию способно было видеть в математике лишь учение о соотношении величин, мер и форм воплощенных тел. Когда, следуя этому чувству, Пифагор изрек решающую формулу, число было для него как раз оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но межевым знаком ставшего, поскольку последнее выступает в чувственно обозримых частностях. Вся античность без исключения понимает числа как единицы меры, как величины, отрезки, поверхности. Оттого представление об иррациональных числах, стало быть, в нашей орфографии, о бесконечных десятичных дробях осталось недосягаемым для греческого духа. Евклид говорит - и следовало бы точнее понимать его, - что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа".

Картина мира Аристарха Самосского. Аристарх Самосский, посещавший в Александрии между 288 - 277 годами кружок астрономов, которые, бесспорно, были связаны с халдейско-персидскими школами, и спроектировавший там ту гелиоцентрическую систему. И все-таки в отличие от системы Коперника - этот решающий факт всегда упускали из виду - ее особая формулировка тщательно подгоняла ее к античному мирочувствованию. Аристарх допускал в качестве замкнутости космоса телесно вполне ограниченный, оптически доминирующий пустой шар, в середине которого находилась планетная система, измышленная на коперниканский лад. Но с допущением небесного шара принцип бесконечного, который угрожал бы чувственно-античному понятию границы, был обойден.

Диофант и арабское число. Стало уже общим местом, что лишь Диофант освободил античную арифметику от ее чувственной связанности, расширил и продолжил ее и хотя и не создал алгебры как учения о неопределенных величинах, но совершенно внезапно, имея в виду, бесспорно, переработку уже существующих идей, дал ей изложение в пределах известной нам античной математики. В отношении действительного, ставшего в нем активизируется новое чувство чисел или, скажем, чувство предела, уже не прежнее, эллинское. У Диофанта число уже не является мерой и сущностью пластических вещей. Незаметным образом греческие обозначения утратили свое первоначальное содержание. Хотя Диофанту еще не знакомы нуль и отрицательные числа, зато пластические единства пифагорейских чисел ему уже не знакомы. С другой стороны, и неопределенность отвлеченных арабских чисел является все же чем-то совершенно иным, чем закономерная изменчивость более позднего, западного числа, функции. И лишь в Багдаде в IX и X веках скороспелые концепции эпохи Диофанта были разработаны и завершены зрелыми мастерами, не уступающими по значению Платону и Гауссу.

Западное число как функция. Важнейшее деяние Декарта, чья геометрия появилась в 1637 году, состояло не во внедрении нового метода или воззрения в область традиционной геометрии, как это постоянно подчеркивается, а в окончательной концепции новой идеи чисел, проявившейся в освобождении геометрии от оптического манипулирования конструкцией и вообще от измеренных или измеримых отрезков. Тем самым анализ бесконечного стал фактом. Вместо чувственного элемента конкретного отрезка и поверхности - специфического выражения античного чувства предела - выступает абстрактно-пространственный и, значит, неантичный элемент точки, характеризуемый отныне как группа сопряженных чистых чисел. Декарт разрушил унаследованное через античные тексты и арабскую традицию понятие величины, чувственного измерения и заменил его переменным значением соотнесенности положений в пространстве. Классическим примером этого разрушения унаследованной геометрии наглядного и конечного представляется мне обращение угловых (тригонометрических) функций -- они были в едва доступном для нас смысле числами индийской математики -- в функции циклометрические (круговые) и дальнейшее их разложение в ряды, которые в бесконечном царстве чисел алгебраического анализа утратили всякое воспоминание о геометрических образованиях эвклидовского стиля. Его символом является решающее, не намеченное ни в какой другой культуре понятие функции. Функция меньше всего представляет собою расширение какого-либо из существующих понятий числа; она есть полное их преодоление.

Классические проблемы предела. И вот, наконец, все содержание западного числового мышления сосредоточивается в классической пограничной проблеме фаустовской математики, образующей ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного - фаустовски бесконечного, - которое в высшей степени чуждо арабскому и индийскому мирочувствованию. Речь идет о теории предельного значения, хотя бы число и рассматривалось в отдельных случаях как бесконечный ряд, кривая или функция. Это предельное значение является строжайшей противоположностью античного, которое, не будучи до сих пор так названо, обсуждалось в связи с классической пограничной проблемой квадратуры круга. Лишь окончательно разъясненное Коши понятие предельного значения устраняет этот остаток античного чувства чисел и превращает счисление бесконечно малых в свободную от противоречий систему. Только переход от "бесконечно малой величины" к "нижнему предельному значению всякой возможной конечной величины" приводит к концепции изменяющегося числа, которое движется под любой отличной от нуля конечной величиной, не неся, стало быть, в себе самом ни малейшего признака величины. Предельное значение в этой окончательной формулировке уже вообще не есть нечто такое, к чему можно приближаться. Оно само представляет собою приближение - процесс, операцию.

Преодоление границы зримого. Освободить геометрию от созерцания, алгебру от понятия величины и соединить обе по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета в мощном сооружении теории функций - таков был великий путь западного числового мышления. Таким образом античное константное число растворилось в изменяющемся. Геометрия, ставшая аналитической, растворила все конкретные формы. Она заменяет прежде всего оптические образования Евклида геометрическими местами точек относительно некой системы координат, исходная точка которых может быть выбрана произвольно, и сводит предметное существование геометрического объекта к требованию неизменности выбранной системы во время операции, направленной уже не на измерения, а на уравнения. Однако тотчас же координаты рассматриваются исключительно как чистые значения, не столько определяющие, сколько выражающие и заменяющие положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, символически представляется уже не образом фигуры, а образом уравнения. "Геометрия" выворачивает свой смысл наизнанку: система координат исчезает как образ, и точка является отныне совершенно абстрактной группой чисел.

Символические пространственные миры. И хотя представление о многомерных пространствах - лучше бы заменить это слово новым - примерно с 1800 года стало расширенной основой аналитического мышления, все же первый шаг к тому был сделан в тот самый момент, когда степени, точнее, логарифмы были отделены от своей первоначальной связи с чувственно реализуемыми плоскостями и телами и - с применением иррациональных и комплексных показателей - введены в область функционального в качестве значений отношений совершенно общего типа. Тот, кто способен вообще уследить за ходом этих мыслей, поймет также, что уже с переходом от представления a³, как естественного максимума, к aⁿ упраздняется безусловность трехмерного пространства. После того как элемент пространства - точка утратила наконец все еще оптический характер координатного пересечения в наглядно представляемой системе и стала определяться группой трех независимых чисел, ничто уже не мешало тому, чтобы заменить число 3 общим числом n. Происходит обращение самого понятия измерения: уже не размерные числа обозначают оптические свойства какой-либо точки относительно, ее положения в данной системе, но неограниченное множество измерений являет совершенно абстрактные свойства некой группы чисел. Эта группа чисел - из n-ного количества независимых упорядоченных элементов - есть образ точки; она называется точкой. Логически разложенное из нее уравнение называется плоскостью, есть образ плоскости. Совокупность всех точек n-измерений называется n-мерным пространством.

Последние возможности. Из этой грандиозной интуиции символических миров пространств вытекает последняя, и заключительная, формулировка всей западной математики: расширение и одухотворение теории функций в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однородных математических образований, скажем совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, - множества, построенные и упорядоченные аналогично дедекиндовскому числовому телу. Общая задача этой математики получает, таким образом (по Клейну), следующую форму: "Дана некая n-мерная множественность ("пространство") и группа трансформаций. Принадлежащие к этой множественности образования должны быть исследованы в отношении тех свойств, которые сохраняют неизменность в трансформациях группы".

Историческая схема:

Античность	Запад
1. Концепция нового числа
Около 540 г. до н.э. Число как величина Пифагорейцы (ок. 470 г. до н.э. победы скульптуры над фресковой живописью)	Около 1630 г. до н.э. Число как отношение Декарт, Ферма, Паскаль; Ньютон, Лейбниц (1670) (ок. 1670 г. победа музыки над живописью маслом)
2. Высшая точка систематического развития
450-350 гг. до н.э. Платон, Архит, Эвдокс (Фидий, Пракситель)	1750-1800 Эйлер, Лагранж, Лаплас (Глюк, Гайдн, Моцарт)
3. Внутреннее завершение числового мира
330-250 гг. до н.э. Эвклид, Аполлоний, Архимед (Лисипп, Леохар)	После 1800 Гаусс, Коши, Риман (Бетховен)

Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 38; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!