Гамма үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы
Гамма үлестірім. Математикалық талдау курсында меншіксіз және параметрлі интегралдар тобына жататын гамма функциясының анықтамасын еске түсірелік:
Сөйтіп, 
параметрінің 
функциясы 
аралығында анықталған, үздіксіз.Бұл функцияны есептеу
формуласына негізделген.
(2)-формуласын дәлелдеу үшін бөліктеп интегралдаса болғаны:
Егер n натурал сан болса, 
Гамма үлестірімді ξ кездейсоқ шамасының тығыздық функциясы
(3)
Теңдіктерімен анықталады, мұндағы α>0 және λ>0, өйткені f(x)≥0 және 
Гамма үлестірімнің сипаттауыш функциясы
Формуласымен,ал k-шы ретті моменті
формуласымен есептеледі.
Олай болса, математикалық күтімі мен дисперсиясы табылды:
және 
Гамма үлестірімі арқылы бірқатар үлестірім заңдарын шығарып алуға болады.Мәселен, 
болса,гамма үлестірімі,көрсеткіштік үлестірімге айналады.
| 45. | Нормаль үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы
Параметрлері  және  болатын  нормаль (гаустік, қалыпты) үлестірім:
Мұндай қалыпты шаманы қысқаша  түрінде жазатын боламыз. Параметрлері  болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.
Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни
Z  болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады. Z 
Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері
|
(Ω,ℱ, Р) ықтималдық кеңістігінде өзара тәуелсіз және үлестірімдері бірдей 
|
|
|
Муавр-Лаплас Ф0,1 (х) стандарт нормаль үлестірім эквивалентті N(0;1)
Мұндағы v - уақыт бірлігінде орын алатын оқиғалардың орта саны. Математикалық үміті мен дисперсиясы сәйкесінше мынаған тең:
Пуассон заңына сәйкес кездейсоқ шаманы модельдеу үшін Пуассонның шектік теоремасын қолданамыз.
Пуассон теоремасына сәйкес дискреттік v кездейсоқ шамасын модельдеуді мына сұлбамен жүргізуге болады. Әр қайсысының саны n-ге тең бірнеше, мысалы, N сериялы сынақтарды өткізейік. Әрбір сынақта а қарапайым оқиғасы р ықтималдығына сәйкес орындала 
алатын болсын. Сонда әрбір і номерлі серияда а оқиғасының орындалған саны Пуассон үлестірімімен сипатталатын v дискреттік кездейсоқ шамасының нақтыламасы болады. Әрбір серияның ішінде өткізілетін сынақ санын мына формуламен табамыз:
п = λ /p.
Осы сұлбаны арқау етіп алынған мына нақтылы алгоритммен танысайық.
1-қадам. i=1 болсын.
2-қадам. j = 1 болсын.
3-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шамасының z нақтыламасын
табу.
4-қадам. z≤ р шартын тексеру. Бұл шарт орындалмаған
жағдайда 6-шы қадамға көшу.
5-қадам 
6-қадам. j= j + 1 болсын.
7-қадам. Серияның аяқталу, яғни j>n шартын тексеру. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 3-ші қадамға оралу керек.
8-қадам. i = i +1 деп алайық.
9-қадам. Есептеудің аяқталу, яғни i>N шартын тексеру. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға қайта оралу.
10-қадам. Барлық 
, еселтеуіштердің қорытынды мәнін 
баспалау.
39. Геометриялық үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы
дискретті кездейсоқ шамасы геометриялық үлестірім болады, егер ол 1, 2,... (шексіз мәндер) мәндерін келесі ықтималдылықпен қабылдайтын болса:
|
|
|
|
|
|
P{𝜉=k}= 
|
сияқты геометриялық қатар қосындысы 
.
Математикалық күтімі: 
Ал Дисперсиясы D(x)= 
мұнда 
| 40. | Теріс биномиальді үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы |
Табыс ықтималдығы p-ға тең Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегінде n-ші табыс n+k 
1-ші сынақта (k=0,1,2,…) пайдп болуының ықтималдығын табалық.
Егер n-ші табыс n+k-ші сынақта пайда болса, онда ең соңғы n+k-ші сынақта табыс (А оқиғасы), ал одан бұрыңғы n+k 1 сынақта n 
рет табыс, k рет сәтсіздік болды(В оқиғасы) деген сөз. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз p(n,n+k)=P(AB)=P(B)P(A)= 
= 
,k=0,1,2,…(1) Бұл үлестірім теріс биномдық үлестірім деп аталады. Үлестірімнің атауы 
= 
= 
= 
(2) теңдігіне байланысты шыққан. Соңғы теңдік (1)-үлестірімді p(n,n+k)= 
түрінде жазуға мүмкіндік береді. Ары қарай, 
= 
болғандықтан 
= 
=1,
|
|
|
яғни 
шындығында да ықтималдық үлестірім болады екен. Теріс биномдық үлестірімді кейде Паскаль үлестірімі деп те атайды. Ал n=1 болған кезде (1) үлестірім геометриялық үлестірім деп аталады.
| 41. | Гипергеометриялық үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы |
Дискретті ξ кездейсоқ шамасының гипергеометриялық үлестірімі болады, егер оның k=0,1,2,3,....,m) мәнінде
ықтималдықтары бар болады.
Алдыңғы формуладан мынандай қатынас шығады:
Гипергеометриялық үлестірімнің математикалық күтімі:
Қосынды ішіндегі 
–ды 
түрінде жазып, сәйкес қысқартуларды орындасақ, мынаны аламыз:
Теорема. n,m,r параметрімен үлестірілген ξ кездейсоқ шамасының гипергеометриялық үлестірімінің математикалық күтімі: 
Ал дисперсиясы: 
тең.
42. Бірқалыпты үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары.
Қолдану жиілігі қалыпты заңына пара-пар бірқалыпты үлестірім заңы мына тығыздық функциясымен сипатталады:
Бірқалыпты үлестірімді η кездейсоқ шамасын модельдеу үшін кері функция әдісімен табылған мына формуланы қолдануға болады:
x = a + z(b-a) (3.13)
Алгоритмі:
1-қадам. j = 1 деп алайық.
2-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шаманың z нақтыламасын
табайық.
3-қадам 
4-қадам. j = j + 1 болсын.
5-қадам. j > п шартын тексерейік, мұндағы п - кездейсоқ шама нақтыламасының керекті мөлшері. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға көшу.
6-қадам. Алынған нақтыламаларды баспалау.
43. Көрсеткішті үлестірім. Анықтамасы және сандық сипаттамалары.
η үлестірім функциясы F(x) болатын үзіліссіз кездесоқ шама болсын. Егер механизмнің а уақыт жұмыс істеген белгілі болса,онда оның қалған жұмыс істеу уақытының үлестірім функциясы қалай анықталады?
Бізге P{η-a  x/η  ықтималдығын табу жеткілікті. Біз былай жаза аламыз:
P{ η-a x/η  =  = 
η-ның үлестірімін кқрсеткіштік үлестірімін есептейміз. Бірақ көрсеткіштік үлестірім үшін F(x)=1-  (x  ) болатынын ескерсек, онда жоғарыдағы қатынастар Р(x)= үлестірілгендігін аламыз.
Көрсеткіштік үлестірім (өзінің дискретті аналогы P{e=k}=qk(1-q) k=0.1…)үлестірім функциясының барлық қасиеттеріне ие жалғыз үлестірім болатын байқау қиын емес. Ал сонғы қатынастан шығатын:
P(x+a)=P(x)*P(a)
функционалдық теңдеуінің салдары.
44.Гамма үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы
|
Гамма үлестірім. Математикалық талдау курсында меншіксіз және параметрлі интегралдар тобына жататын гамма функциясының анықтамасын еске түсірелік:
Сөйтіп, параметрінің функциясы аралығында анықталған, үздіксіз.Бұл функцияны есептеу
формуласына негізделген.
(2)-формуласын дәлелдеу үшін бөліктеп интегралдаса болғаны:
Егер n натурал сан болса,
Гамма үлестірімді ξ кездейсоқ шамасының тығыздық функциясы
(3)
Теңдіктерімен анықталады, мұндағы α>0 және λ>0, өйткені f(x)≥0 және
Гамма үлестірімнің сипаттауыш функциясы
Формуласымен,ал k-шы ретті моменті
формуласымен есептеледі.
Олай болса, математикалық күтімі мен дисперсиясы табылды:
және
Гамма үлестірімі арқылы бірқатар үлестірім заңдарын шығарып алуға болады.Мәселен, болса,гамма үлестірімі,көрсеткіштік үлестірімге айналады.
| 45. | Нормаль үлестірім. Анықтамасы және сандақ сипаттамасы
Параметрлері және болатын нормаль (гаустік, қалыпты) үлестірім:
Мұндай қалыпты шаманы қысқаша түрінде жазатын боламыз. Параметрлері болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.
Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни
Z болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады. Z
Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері
|
(Ω,ℱ, Р) ықтималдық кеңістігінде өзара тәуелсіз және үлестірімдері бірдей
Муавр-Лаплас Ф0,1 (х) стандарт нормаль үлестірім эквивалентті N(0;1)
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 1; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!