Начала математического анализа.

Степень с натуральным показателем.

Арифметический квадратный корень.

1. Вычислить:

; ; ; ;

; ; ; .

2. Заполнить пропуски:

если , то , , ;

если , то , , .

3. Подобрать показатели степеней так, чтобы равенства были верными:

, , , , , .

4. Возвести в степень выражения:

; ; ; ;

; ; ; .

5. Извлечь квадратные корни:

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Степень с рациональным показателем.

Степень с действительным показателем.

6. Заполнить пропуски так, что бы равенства были верными:

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

7. Заполнить таблицу:


-1
2
3

8. Заполнить таблицу:

	0	1	8	64	125			216

	0	1	16	81	256			625

9. Решить уравнение:

, ___________________________________________________________

10. Выполнить действия:

11. Заполнить таблицу:

12. Вычислить:

;

13. Вычислить:

; ; ; ;

; ; ; .

Логарифм с произвольным показателем.

Свойства логарифмов.

14. Заполнить пропуски так, чтобы равенство было верным:

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

15. Заполнить пропуски так, чтобы равенство было верным:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

16. Сопоставить логарифм числа с соответствующим показателем степени:

¹/₂

-2

-3

-1

Основы тригонометрии.

17. Найти радианную меру угла, выраженную в градусах:

10⁰=___________, 80⁰=___________, 220⁰=__________, 20⁰=___________,

120⁰=__________, 240⁰=__________, 36⁰=___________, 140⁰=__________,

320⁰=__________, 46⁰=____________, 180⁰=__________.

18. На единичной окружности отметить точки A, B, C, D, получившиеся поворотом точки N(1;0) на углы:

19. Точка М единичной окружности получена поворотом точки N(1;0) на угол α. Заполнить таблицу:

α
координаты точки М		(0; -1)

20. Точка М единичной окружности получена поворотом точки N(1;0) на угол α. Заполнить таблицу:

α	130⁰		320⁰	380⁰			150⁰
четверть, где лежит α			IV

21. Отметить на числовой окружности углы:

30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰, 120⁰, 150⁰, 300⁰

22. Построить углы, синус каждого из которых равен:

23. Построить углы, косинус каждого из которых равен:

24. Определить знак тригонометрических функций по заданному углу:

	80⁰	100⁰	200⁰	256⁰	380⁰	300⁰
sin α
cos α
tg α
ctg α

25. Вычислить:

____________________________________________________

_________________________________________________

____________________________________________________

______________________________________________________

____________________________________________

_____________________________________________________

26. Определить знак неравенства:

; ; ;

; ; .

27. Используя формулу тригонометрической единицы выяснить, есть ли такие углы, для которых имеют место равенства:

_________________________________________________

_____________________________________________________________________

__________________________________________________

_____________________________________________________________________

_______________________________________________

_____________________________________________________________________

________________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________

_____________________________________________________________________

______________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________________________________

28. Сопоставить точку единичной окружности и числа:

29. Указать число, соответствующее выделенной точке окружности:

30. Вычислить:

________________________________________

_____________________________________

_________________________________________

______________________________________

____________________________________

_________________________________

____________________________________

_______________________________

________________________________________

_________________________________________

31. Сравнить:

; ;

;

32. Записать к рисунку соответствующий промежуток:

1
2
3
4
5
6
7
8

33. Дано решение простейшего тригонометрического уравнения, заполнить в нем пропуски:

Функции, их свойства и графики.

C тепенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая функции.

34. Указать область определения функций и область значения функций:

а)_____________________________ г)____________________________

б)_____________________________ д)____________________________

в)_____________________________

35. Для каждого графика указать промежутки возрастания и убывания функций.

а)____________________________________________________________________

б)____________________________________________________________________

в)____________________________________________________________________

г)____________________________________________________________________

36. Заполнить таблицу, используя график функции:

Свойства функции:
D (y)
E (y)
Нули функции
f (x)>0
f (x)<0
f (x) ↑
f (x) ↓

37. На рисунке показано, как изменялась температура окружающей среды на протяжении суток, найти:

t, час

Т, ⁰С

а) разность между наибольшим и наименьшим значением температуры;

_____________________________________

б) в какое время суток температура была равна 0⁰?

_____________________________________

в) во сколько температура начала понижаться?

_____________________________________

г) сколько часов шло повышение температуры?

_____________________________________

д) сколько часов температура была ниже 0⁰? _____________________________________

38. На рисунке 1 изображен график функции y = f(x). Записать формулы, с помощью которых можно задать остальные графики.

39. Построить график функции и , если график функции построен.

40. Указать, какие функции возрастают, какие убывают.

41. Построить на одном чертеже график функций ; .

42. Сравнить числа:

43. Решить графически уравнения:

44. Найти область определения логарифмической функции:

__________________________________________________________

_________________________________________________________

__________ _ _______________________________________________

_________________________________________________________

_________________ ___ ________________________________________

__________ _ _______________________________________________

45. Сравнить числа:

; ;

; .

46. Указать какая функция возрастает, какая убывает.

47. Построить график функции , с помощью сдвига графика функции y=log₂x.

48. Дан график функции . Заполнить таблицу:

D(y)
E(y)
Нули функции
Интервалы монотонности
y>0
y<0
y(9)

49. Решить графически уравнение.

50. Для каждой функции найти её область определения:

Функция	Область определения
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:
	Ответ:

51. Дан график функции . На этом же чертеже построить график функции .

52. Дан график функции . На этом же чертеже построить график функции .

53. Дан график функции . На этом же чертеже построить график функции .

54. Дан график функции . На этом же чертеже построить график функции .

55. Дан график функции . На этом же чертеже построить график функции .

56. Определить, какие графики изображены на рисунке.

y=sinx

57. График какой функции изображен на рисунке, задать данную функцию аналитически.

Какова область определения данной функции?______________________________

Имеет ли функция ноль? _____________

58. График какой функции изображен на рисунке, задать данную функцию аналитически.

Какова область определения данной функции?______________________________

Имеет ли функция ноль? ____________

59. График какой функции изображен на рисунке, задать данную функцию аналитически.

Каково множество значений данной функции? _____________________________

f(0)=_____________________________

60. График какой функции изображен на рисунке, задать данную функцию аналитически.

Каково множество значений данной функции? __________________________

f(0)=____________________________

Векторы и координаты.

61. Найти длину вектора .

_____________________________________________

62. Найти длину вектора .

_____________________________________________

63. Найти длину вектора .

_____________________________________________

64. Найти длину вектора .

_____________________________________________

65. Найдите квадрат длины вектора .

_____________________________________________

66. Дан вектор , . Найти координаты точки В.

____________________________________________

67. Вектор с началом в точке имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки В.

____________________________________________

68. Найти сумму координат вектора .

____________________________________________

69. Найти разность координат вектора .

____________________________________________

70. Найти сумму координат вектора

____________________________________________

71. Найти скалярное произведение векторов и

____________________________________________

72. Найдите угол между векторами и

____________________________________________

73. Найдите скалярное произведение векторов и .

____________________________________________

74. Найдите угол между векторами и .

____________________________________________

75. Записать уравнения прямой по заданным данным, привести его к общему уравнению прямой:

Исходные данные:	Уравнение прямой:
М₁(2;3), М₂(7;5) – фиксированные точки прямой М₁ М_2.
М₁(1;3), М₂(4;1) – фиксированные точки прямой М₁М_2.
М₁(7;-1), М₂(-1;-1) – фиксированные точки прямой М₁М_2.
М₁(3;-2) – фиксированная точка прямой, вектор p(-5;3) – направляющий вектор прямой.
М₁(-1;-4) – фиксированная точка прямой, вектор – направляющий вектор прямой.
М₁(-5;-3) – фиксированная точка прямой, вектор – направляющий вектор прямой.
М₁(5;3) – фиксированная точка прямой, вектор – нормальный вектор прямой.
М₁(-3;5) – фиксированная точка прямой, вектор – нормальный вектор прямой.
М₁(7;-8) – фиксированная точка прямой, вектор – нормальный вектор прямой.

Начала математического анализа.

76. Вычислить производную:

, , , , ,

, ,

, , , ,

, , ,

, ,

, .

77. Используя схему, ответить на вопросы:

а) Указать интервалы возрастания функции:

_________________________________

б) Указать точки максимума:

_________________________________

78. Используя схему, ответить на вопросы:

а) Указать интервалы убывания функции:

________________________________

б) Указать точки максимума:

_________________________________

в) Указать точки минимума:

________________________________

79. Используя схему, ответить на вопросы:

а) Указать интервалы возрастания функции:

_________________________________

б) Указать точки максимума:

_________________________________

80. Используя схему, ответить на вопросы:

а) Указать интервалы возрастания функции:

__________________________________

б) Сколько функция имеет экстремумов?

_________________________________

в) Указать точки минимума:

________________________________

81. Задан график производной функции. Указать количество экстремумов функции.

82. Дан график производной функции. Заполнить таблицу:

Функция возрастает
Функция убывает
Функция имеет min
Функция имеет max

83. Дан график производной функции. Заполнить таблицу:

Функция возрастает
Функция убывает
Функция имеет min
Функция имеет max

84. Даны графики функций. Ответить на вопросы к каждому графику.

1.	Интервал возрастания_____________________________________ Точка минимума______________________ f(-2)________________________________ Нуль функции________________________
2.	Интервал возрастания_____________________________________ Точка максимума______________________ f(-1)________________________________ Нуль функции________________________
3.	Интервалы монотонности_______________________________________ Точка минимума______________________ f(-3)________________________________ Нуль функции________________________
4.	Интервалы, где производная функции отрицательна_________________ Точка минимума______________________ f(1)________________________________ Нуль функции________________________
5.	Интервал, где производная положительна__________________________ Точка максимума______________________ f(-1)________________________________ Нуль функции________________________
6.	Функция четная или нечетная? __________________________________ Интервал убывания_____________________________________ Точка минимума______________________ f(-4)________________________________ Нуль функции________________________

85. Отметить, на каких промежутках функция, заданная графиком, обладает указанными свойствами:

	(-3;-1]	(-1;1)	(1;3)	(1;2)
Функция положительна и возрастает
Функция отрицательна и убывает
Функция положительна и убывает
Производная неотрицательна
Производная отрицательна
В промежутке лежит min
В промежутке лежит max
Наибольшее значение функции
Наименьшее значение функции

86. Функция задана графически. Описать её свойства.

87. Вычислить табличный интеграл:

_________________________; ______________________;

__________________________; ______________________;

________________________; _____________________;

___________________; ___________________;

____________________; ___________________;

_________________________; _____________________;

________________________; _________________;

________________; ________________;

________________; __________________;

_________________________.

Стереометрия

88. Дано: точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Указать:

1) Плоскости, которым принадлежит:

а) прямая АВ; б) точка F; в) точка С.

2) Прямую пересечения плоскостей:

а) АВС и ACD;

б) ABD и DCF.

1) а)__________________________ 2) а) __________________________

б)__________________________ б)__________________________

в)__________________________

89. Дано: точка М лежит вне плоскости α, а точки А, В и С принадлежат этой плоскости.

1) Принадлежит ли точка F плоскости α?

2) Указать прямую пересечения плоскостей:

а) α и АВМ; б) АВМ и ВМС.

3) Может ли точка Е принадлежать плоскости α?

4) Принадлежит ли прямая АС плоскости МВС?

1) __________________________ 3) __________________________

2) а)__________________________ 4) __________________________

б)__________________________

90.


Дано: плоскости α и β пересекаются по прямой а. Может ли точка С принадлежать плоскостям α и β? ______________________________ ______________________________		Дано: точка D лежит вне плоскости АВС. Пересекаются ли прямые DE и ВС? ________________________________ ________________________________

91. Дано: прямые а, b и с пересекают плоскость α в точках М, К и Р. Лежат ли прямые а, b и с в одной плоскости?

_________________________________________

92. Дано: плоскости α и β пересекаются по прямой ℓ. Прямая m принадлежит плоскости α. Построить точку пересечения прямой m и плоскости β.

93. Найти x , y .

94. Дано: прямая МА перпендикулярна плоскости α. Найти угол между прямой МВ и плоскостью α.

95. Обозначить перпендикуляр к плоскости, наклонную и проекцию, используя чертеж.

___________________________________________

96. Решить задачу:

Дано:

МВ : АМ = 2 : 1;

АО = 1 м;

ОВ = 7 м.

_______________

АМ - ?

ВМ - ?

Решение:

97. Решить задачу:

Дано:

АО = 4;

СО = 5;

ОВ = 3; ;

______________

- ?

Решение:

98. Решить задачу:

99. Найти величину двугранного угла:

100. Построить:

Треугольную призму:

Шестиугольную призму:

Параллелепипед:

101. Дана призма. Обозначить её и указать все элементы:

________________________________ ________________________________

102. Построить:

Треугольную пирамиду:

Шестиугольную пирамиду:

Четырехугольную пирамиду:

103. Дана пирамида. Обозначить её и указать элементы:

104. Построить, обозначить и указать элементы:

Цилиндр:	Конус:

105. Обозначить объекты:

106. Решить задачу:

Дано:

Решение:

Дано:

Решение:

107. Дана прямая призма:

108. Дана правильная призма. Найти боковую и полную поверхность.

109. Дана правильная пирамида. Найти полную поверхность.

110. Найти объем геометрического объекта.

111. Все ученики старших классов (с 9-го по 11-й) участвовали в школьной спартакиаде. По результатам соревнований каждый из них получил от 0 до 3-х баллов. На диаграмме I отражено распределение учеников по классам, а на диаграмме II — количество учеников, набравших баллы от 0 до 3-х. На обеих диаграммах каждый ученик учтён только один раз.

Какое из утверждений следует из анализа обеих диаграмм?

1 ) Среди учеников 9-го класса есть хотя бы один, набравший 2 или 3 балла.

2 ) Все ученики, набравшие 0 баллов, могут быть 9-классниками.

3 ) Все 10-классники могли набрать ровно по 2 балла.

4 ) Среди набравших 3 балла нет ни одного 10-классника.

112. Сплавляются два вещества, состоящие из серы, железа, водорода и меди. Массовые доли серы (S), железа (Fe), водорода (Н) и меди (Си) в каждом веществе приведены на диаграммах.

Определить, какая из диаграмм правильно отражает соотношение элементов в сплаве.

113. Диаграмма отражает количество (в килограммах) собранного за четыре месяца урожая двух сортов огурцов в парниковом хозяйстве.

Какая из диаграмм правильно отражает объемы суммарного за четыре месяца собранного урожая по каждому из сортов?

114. В таблице представлены средние рыночные цены для 4–х типов товаров на начало и конец года. Какая из диаграмм наиболее верно отражает рост цен этих товаров в процентах относительно начала года?

115. На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в мин. Какое наименьшее число оборотов в мин. должен поддерживать водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 100Н^.м?

__________________________________

Об/мин	500	1000	1500
Н^.м

Заполнить таблицу:

116. Вычислить:

117. Решить уравнение:

118. Даны два положительных числа. Найти их средние величины – среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное.

2,4
8,3
1,5
4,6

Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!