Уравнения, решаемые введением новой переменной.

Алгебра 10 класс

Тема: Логарифмические уравнения

Цель: научиться решению простейших логарифмических уравнений;

Добрый день! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов.

Подготовились к уроку, открыли тетрадь, записали число, классная работа, тема урока.

Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

Изучение нового материала:

Определения и способы решения уравнений записать вместе с примерами.

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений

Решение уравнений на основании определения логарифма.

log_a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

· по данным основаниям и числу определяется логарифм,

· по данному логарифму и основанию определяется число,

· по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2³ , х³ = 3³,

х =7 . х = 8. х =3.

Решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3 х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

Решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6 -х>0;

х>0;

х≠1;

log₂х²>0;

х²>0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х>0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х +1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂ = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

Уравнения, решаемые введением новой переменной.

Пример:

Решите уравнение lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 99; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!