Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Интегрирование простейших дробей

Дробь первого типа:

Дробь второго типа:

При условии, что .

Дробь третьего типа:

Окончательно,

При условии, что , .

Дробь четвёртого типа:

Таким образом, получили рекуррентную формулу для интеграла:

, (4.12)

где

Соотношения выполняются при условии, что , .

4.9. Интегрирование рациональных дробей
методом разложения на простейшие

Рациональной дробью называется отношение вида , где и - многочлены с действительными коэффициентами соответственно степени и . Если дробь называется правильной, а если , то - неправильной. Если дробь неправильная, то справедливо соотношение , где , а - многочлены степени и .

Интеграл от многочленов берется с использованием таблицы и свойств интегралов. Следовательно, для того чтобы интегрировать рациональные дроби, нужно уметь интегрировать правильные рациональные дроби.

Лемма первая: Пусть отношение - правильная рациональная дробь и пусть - действительный корень кратности знаменателя . Тогда справедливо разложение: где - некоторое целое число, а - правильная дробь.

Доказательство:

Так как - действительный корень кратности знаменателя , то , причем .

Определим так, чтобы число являлось корнем некоторой кратности многочлена . В этом случае

Подставив это в дробь, получаем

И, соответственно,

.☻

Лемма вторая: Пусть - правильная рациональная дробь и пусть число - комплексный корень кратности знаменателя , то есть . Тогда , - некоторое целое число такое, что - правильная дробь.

Доказательство:

. Определим и таким образом, чтобы число являлось корнем некоторой кратности многочлена , т.е.

Эта система всегда имеет решение. Таким образом, .☻

Из этих двух лемм следует, что если

, (4.13)

причём ни один из квадратных трёхчленов не имеет действительных корней, то правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

. (4.14)

В разложении (4.14) , и - некоторые действительные числа. Их можно определить следующим образом: дроби, стоящие в правой части (4.14), привести к общему знаменателю, после этого приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей и решить получившуюся систему уравнений.

Еще один способ определения этих чисел состоит в следующем. После приведения к общему знаменателю дробей, стоящих в правой части (4.14), приравнять числители левой и правой частей. Система уравнений для определения чисел , и получается, если в это равенство подставить столько различных значений переменной , сколько неизвестно коэффициентов , и . Второй способ очень удобен, если все корни уравнения имеют кратность, равную единице. Тогда подставляют в получившееся уравнение вместо по очереди корни многочлена .

Пример:

Разложить на простейшие дробь .