Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
Интегрирование простейших дробей
Дробь первого типа:
Дробь второго типа:
При условии, что .
Дробь третьего типа:
Окончательно,
При условии, что , .
Дробь четвёртого типа:
Таким образом, получили рекуррентную формулу для интеграла:
, (4.12)
где
Соотношения выполняются при условии, что , .
4.9. Интегрирование рациональных дробей
методом разложения на простейшие
Рациональной дробью называется отношение вида , где и - многочлены с действительными коэффициентами соответственно степени и . Если дробь называется правильной, а если , то - неправильной. Если дробь неправильная, то справедливо соотношение , где , а - многочлены степени и .
Интеграл от многочленов берется с использованием таблицы и свойств интегралов. Следовательно, для того чтобы интегрировать рациональные дроби, нужно уметь интегрировать правильные рациональные дроби.
Лемма первая: Пусть отношение - правильная рациональная дробь и пусть - действительный корень кратности знаменателя . Тогда справедливо разложение: где - некоторое целое число, а - правильная дробь.
Доказательство:
Так как - действительный корень кратности знаменателя , то , причем .
.
Определим так, чтобы число являлось корнем некоторой кратности многочлена . В этом случае
.
Подставив это в дробь, получаем
.
И, соответственно,
|
|
.☻
Лемма вторая: Пусть - правильная рациональная дробь и пусть число - комплексный корень кратности знаменателя , то есть . Тогда , - некоторое целое число такое, что - правильная дробь.
Доказательство:
. Определим и таким образом, чтобы число являлось корнем некоторой кратности многочлена , т.е.
Эта система всегда имеет решение. Таким образом, .☻
Из этих двух лемм следует, что если
, (4.13)
причём ни один из квадратных трёхчленов не имеет действительных корней, то правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей
. (4.14)
В разложении (4.14) , и - некоторые действительные числа. Их можно определить следующим образом: дроби, стоящие в правой части (4.14), привести к общему знаменателю, после этого приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей и решить получившуюся систему уравнений.
Еще один способ определения этих чисел состоит в следующем. После приведения к общему знаменателю дробей, стоящих в правой части (4.14), приравнять числители левой и правой частей. Система уравнений для определения чисел , и получается, если в это равенство подставить столько различных значений переменной , сколько неизвестно коэффициентов , и . Второй способ очень удобен, если все корни уравнения имеют кратность, равную единице. Тогда подставляют в получившееся уравнение вместо по очереди корни многочлена .
|
|
Пример:
Разложить на простейшие дробь .
Согласно (4.14)
Полагая , получим . Аналогично, если взять , находим , а если , то . Таким образом,
Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
1) Интегрирование и .
Рассмотрим два случая: - нечетное число ( ) и - четное ( ).
Пусть , тогда:
Далее используя бином Ньютона, берём интегралы от алгебраических многочленов.
Пусть теперь . Воспользуемся формулами «понижения».
.
Далее опять используем бином Ньютона, а интегралы вида берем только что описанным методом.
2) Интегрирование , где выражение рационально зависит от и .
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
Выражение является рациональной дробью и соответствующим образом интегрируется.
Замечания:
1. Если выражение нечетно относительно , то есть , то более удобной является подстановка т.к. в этом случае
|
|
.
2. Если выражение нечетно относительно , то есть , то используется подстановка .
3. Если , то наиболее удобной является подстановка .
3) Интегрирование , и осуществляется с помощью формул
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 34; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!