Определение: Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции величин) находятся под знаком радикала.
Лекция.
Иррациональные уравнения и неравенства.
Определение. Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.
Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:
1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;
2) введение новой переменной;
3) сведение к системе уравнений;
4) применение свойств функций, входящих в уравнение.
При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).
Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:
,
при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.
Если n - нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению
.
Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): 
. Уравнение 
в этом случае равносильно системе:
.
Пример 1.
Решить уравнение 
.
Решение. Так как n =2 - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень: 
Ответ: 28
Пример 2.
Решить уравнение 
.
Решение. Так как в данном примере n =3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное данному уравнение: 
.
|
|
|
Ответ: 
.
Пример 3.
Решить уравнение 
.
Решение. Так как n =2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе:
Ответ: 
.
Уравнения вида 
, решаются следующим образом:
n – нечетное 
n - четное 
или 
.
Пример 4.
Решить уравнение: 
Ответ: 0,6
Пример 5.
Решить уравнение: 
Решение. Запишем данное уравнение в виде: 
Возводя обе части в квадрат и учитывая, что 
получим уравнение 2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений
Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.
Пример 6.
Решить уравнение 
.
Решение. Запишем уравнение в виде: 
. Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:
.
Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:
|
|
|
.
Ответ: 
.
Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.
Пример 7.
Решить уравнение 
.
Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде 
и введем «новую» переменную:
, 
.
Получим 
.
Вернемся к «старым» переменным 
или 
. Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа 
Ответ: 
.
Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.
Пример 8.
Решить уравнение 
.
Решение. Пусть 
и 
. Тогда 
. С другой стороны 
. Получаем систему
.
Решим последнее уравнение системы:
.
Получим, что 
, а тогда 
. По условию 
, следовательно исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет решений.
При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.
|
|
|
При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.
Пример 10.
Решить уравнение 
.
Решение. Один корень данного уравнения 
легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде 
.
По свойству степенных функций функции 
и 
являются возрастающими на промежутке 
, где они обе определены. Поэтому их сумма 
на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.
Ответ: .
Определение: Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции величин) находятся под знаком радикала.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе неравенств или совокупности таких систем, не содержащих иррациональных выражений.
Схемы решения:
1) 
2) 
3) 
Пример 1. Решить неравенство
<1.
Решение.
Обе части неравенства неотрицательны, можно возводить в квадрат, значит,
 ,  ;
|  x<6;
| 
|
Ответ: 
Пример 2. Решить неравенство
|
|
|
>-1.
Решение.
Допустимые значения неравенства:
x+8 
x 
Левая часть неотрицательна, правая – отрицательна, т.е. неравенство выполняется при всех допустимых x.
Ответ: 
Пример 3. Решить неравенство
<x.
Решение.
Допустимые значения неравенства:
Правая часть неравенства может быть отрицательной, но с учётом допустимых значений, обе части неотрицательны. Возводим в квадрат:
 
|
|
|
Ответ: 
Пример 4. Решить неравенство
< 
+5.
Решение.
Допустимые значения неравенства:
+61 
Правая часть неравенства может быть отрицательной.
Рассмотрим два случая.
| 1. |  
|   ;
| 
| |||
| 
|
2. 
В этом случае левая часть исходного неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Нет решений.
Ответ: 
Пример 5. Решить неравенство
>x+1.
Решение.
Допустимые значения неравенства:
Правая часть неравенства может быть отрицательной.
Рассмотрим два случая.
| 1. |  
|  
| 
| |||
| 
|
2. 
т. е. левая часть исходного неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, та часть рассматриваемого участка, которая входит в область допустимых значений исходного неравенства, является его решением.
Объединим ответы в первом и во втором случаях:
или
Ответ: 
Решать иррациональные неравенства можно, придерживаясь, например, следующего алгоритма:
1.Найти область допустимых значений заданного неравенства.
2.Руководствуясь предложениями о равносильности неравенств, решить заданное неравенство.
3.Из найденных решений отобрать значение переменной, принадлежащее области определения заданного неравенства.
Дата добавления: 2022-12-03; просмотров: 38; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!