Задание 4, б) Найдите корни уравнения в поле комплексных чисел и изобразите их геометрически.
Задание 1. Решите данные уравнения.
Вариант 2.
а)
б)
Решение.
а) Неизвестное комплексное число z будем искать в алгебраической форме . Тогда , где – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа , пока неизвестные действительные числа. Подставляя в данное уравнение выражения для и , получим:
Выполним указанные действия в левой части уравнения и запишем в алгебраической форме:
Тогда заданное уравнение примет вид:
Приравнивая соответственно действительные и мнимые части в последнем равенстве, получим систему уравнений:
Найдем решение системы по правилу Крамера:
Таким образом, единственным решением данного уравнения будет комплексное число
Ответ:
Проверка:
.
б) По формуле нахождения корней квадратного уравнения , находим: , где
Теперь нужно вычислить , то есть алгебраическую форму записи этого комплексного числа. Пусть , здесь . Тогда, , то есть . Приравнивая соответственно действительные и мнимые части, получим систему уравнений относительно неизвестных x и y:
Кроме того,
По известным сумме и разности чисел и находим: и , то есть и
, откуда, учитывая, что , находим решения:
Подставляя полученные значения x и y в выражения и , найдем решения данного уравнения:
Ответ:
Проверка:
Задание 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех точек,
удовлетворяющих заданным условиям.
|
|
Вариант 2.
Решение.
Рассмотрим вначале первое условие. Комплексное число z в алгебраической форме имеет вид Тогда . Откуда, по определению модуля комплексного числа, получим или . Множество точек , удовлетворяющих этому неравенству, есть множество точек, расположенных вне круга радиуса 2 с центром в точке (2, -1) или на соответствующей граничной окружности.
Второму условию удовлетворяют все комплексные числа , для которых . Эти неравенства задают полосу, лежащую между вертикальными прямыми и . При этом точки прямой входят в множество (неравенство нестрогое), а точки прямой - не входят в него (неравенство строгое).
Множеством точек, удовлетворяющих обоим заданным условиям, будет пересечение двух множеств (внешности круга и полосы):
Задание 3. Вычислите значение данного выражения.
Вариант 2.
Решение.
Возведение в степень комплексных чисел легче выполнить в тригонометрическом виде. Поэтому, числа данного выражения запишем в тригонометрической форме:
Тогда при помощи формулы возведения в степень комплексного числа (формула Муавра), получим, во-первых:
во-вторых:
и наконец:
|
|
Подставляя полученные выражения в исходное, имеем:
Ответ:
Задание 4, a) Найдите значение функции для заданных значений
Вариант 2.
Решение.
Сначала запишем числа и в тригонометрической форме:
Найдем модуль и аргумент числа находим из
системы уравнений:
Отсюда имеем: .
Найдем модуль и аргумент числа находим из
системы уравнений:
Отсюда имеем: .
Теперь по формулам Муавра получим:
и
Используя формулу деления комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем:
Ответ:
Задание 4, б) Найдите корни уравнения в поле комплексных чисел и изобразите их геометрически.
Вариант 2.
Решение.
Для того, чтобы решить данное уравнение, воспользуемся формулой вычисления корня n-ой степени из комплексного числа. Представим число в тригонометрической форме:
Согласно общей формуле,
где Итак, выпишем все корни уравнения:
Изобразим полученные корни геометрически. Заметим, что все корни имеют один и тот же модуль, следовательно, все они расположены на окружности радиуса , а их аргументы отличаются на один и тот же угол Поэтому, корни этого уравнения являются вершинами правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса
|
|
Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 99; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!