П4. Свойства производных. Вычисление производных.
Тема 2. Производная и её приложения.
Производная функции.
П1. Задачи, приводящие к понятию производной.
а) Прямолинейное движение материальной точки.
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону 
. Вычислим её среднюю скорость. Из физики известно, что 
, где 
начальный момент времени, 
- конечный момент времени, 
- путь пройденный телом до момента времени 
, 
- путь пройденный телом до момента времени 
. Средняя скорость слабо характеризует движение. Для более точной характеристики вычислим мгновенную скорость (скорость за минимальный промежуток времени), то есть скорость при 
. Итак,
б) Протекание тока в электрической цепи.
Пусть количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника, изменяется по закону 
. Вычислим среднюю силу тока в данной цепи. Из физики известно, что 
, где начальный момент времени, - конечный момент времени, 
- количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника до момента времени , 
- количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника до момента времени . Средняя сила тока слабо характеризует процесс. Для более точной характеристики вычислим мгновенную силу тока (силу тока за минимальный промежуток времени), то есть силу тока при . Итак,
П2. Понятие производной.
При решений многих задач возникают пределы, подобные пределам из п1. Подробное их рассмотрение привело к появлению понятия производной.
|
|
|
Опр. Пусть задана функция 
и пусть 
некоторая точка из интервала 
. Предел
называется производной функции 
в точке и обозначается 
.
Итак, по определению
Опр. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Опр. Функция, имеющая производную в любой точке, называется дифференцируемой.
Опр. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Запишем определение производной в другом виде: пусть 
; так как 
, то 
; причем 
. Тогда определение производной примет вид:
Заменим на 
и получим ещё одно определение производной:
Опр. Производная это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
Существуют несколько способов записи производной, например,
Возвращаясь к задачам, рассмотренным в п1. можно отметить, что:
а) 
- мгновенная скорость в момент времени есть производная от пути по времени;
б) 
- мгновенная сила тока в момент времени есть производная от количества электричества по времени.
П3. Вычисление производной по определению.
Чтобы вычислить производную функции по определению нужно:
|
|
|
1) выписать ;
2) составить 
;
3) составить и упростить 
;
4) составить и упростить 
;
5) вычислить 
.
Например, вычислим производные функций по определению:
а) 
, где 
; б) 
.
Решение:
а) 1) 
Значит, 
б) 1) 
Значит, 
Задание 1. Вычислить производные следующих функций по определению:
а) 
; б) 
, в) 
.
Итак, теперь мы знаем производные некоторых функций:
; 
; 
1; 
.
Аналогично могут быть получены производные следующих функций:
; 
, 
.
п4. Свойства производных. Вычисление производных.
Если функции и g 
дифференцируемы, то имеют место формулы
Например, вычислим производные функций:
а) 
;
б) 
.
Решение:
а) 
.
б) 
Задание 2. Вычислить производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
д) 
; е) 
; ж) 
.
Домашнее задание.
Задание 1. Выписать и выучить формулы сокращённого умножения: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Задание 2. Вычислить производные функций по определению:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
, где 
- некоторые константы, д) 
.
Задание 3. Вычислить производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
; ж) 
Дата добавления: 2022-07-16; просмотров: 52; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!