Решение систем трех линейный алгебраических уравнений методом Гаусса. Рассмотреть на примере системы

Комплексные числа. Алгебраическая форма записи КЧ. Модуль и аргумент КЧ.

Опр.: Алгебраической формой КЧ является z=a+bi, где i - мнимая единица

I² = -1, a – действительная часть,bi – мнимая часть

Опр.: Числа z=a+bi и -z=-a-bi называются противоположными. Числа z=a+bi и z=a-bi называются сопряженными.

Опр.: Модуль КЧ – длина вектора.

r=[z]=

Опр.: Аргументом КЧ называется угол ϕ между вектором и положительным направлением действительной оси.

 

КЧ. Арифметические действия над КЧ в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение и деление)

1)сложение: Z₁=a+bi, z₂=a+bi

Z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

2)вычитание:

Z₁-z₂=(a₁+b₁*i)-(a₂+b₂*i)=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

3)умножение КЧ на действительные:

z=a+bi, k

k*z=k(a+bi)=ka+kbi

4)умножение КЧ: Z₁=a+bi, z₂=a+bi

Z₁*z₂=(a₁+b₁*i)*(a₂+b₂*i)=a₁*a₂+a₁*b₂*i+b₁*a₂*i+b₁*b₂*i²=(a₁*a₂-b₁*b₂)+(a₁*b₂*i+b₁*a₂*i)

5)деление КЧ: Z₁=a+bi, z₂=a+bi

 

 

Тригонометрическая форма записи КЧ(вывод), умножение и деление чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Z=r*(cos ϕ+i*sin ϕ)

Z₁*z₂=r₁*r₂(cos(ϕ₁+ ϕ₂)+i*sin(ϕ₁+ ϕ₂))

Формула Муавра – формула возведения в степень:

 

Показательная форма записи КЧ. Формула Эйлера. Умножение и деление чисел в показательной форме.

e≈2.7 – число Эйлера

Формула Эйлера:

Показат. форма: z=

Умножение:

Деление:

 

 

Понятие матрицы с числовыми элементами, виды матриц. Линейные операции над матрицами (сложение, умножение на число)

Матрица – прямоугольная таблица чисел.

M строк одинаковой длинны

N столбцов одинаковой длинны

A_mxn       A=(a_ij), где i – номер строки,j – номер столбца

A=B, если у них одинаковый размер и соответствующие элементы равны.

Виды матриц:

1)Квадратная

n=m

2)Опр.:Главной диагональю у матрицы называются элементы

Диагональная – квадратная матрица у которой на главной диагонали числа, остальные 0

3)Треугольная: на главной диагонали числа и по одну сторону от неё числа, остальные 0

4)Нулевая:

5)Единичная- квадратная матрица у которой на главной диагонали 1, остальные 0

6)Матрица-вектор: 1 строка или 1 столбец

Сложение матриц:

A_nxm+B_nxm=C_nxm

Умножение на число:

K*A=(k*a_ij)

Свойства:

1)A+B=B+A

2)(A+B)+C=A+(B+C)

3)A+0=A

4)A-B=A+(-B)

5)A-A=0

6)1*A=A

7)k*(l*A)=(k*l)*A

 

 

Понятие матрицы с числовыми элементами. Виды матриц. Умножение и транспонирование матриц.

Транспонирование матрицы – это перемена мест строк и столбцов.

  

Умножение:

A_mxn*B_nxk=C_mxk

Кол-во столбцов у первой матрицы равно кол-ву строк у второй матрицы

А=    В=

А*В=

Свойства:

1)0*А=0

2)А*Е=А,где Е – единичная матрица

3)А*В

 

Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства, способы вычисления.

Опр.: Определителем матрицы называется число, которое вычисляется по определенному правилу.

Правило: определитель = сумма произведений элементов строки на их алгебр.дополнения.

 

8) Решение систем трех линейных алгебраическом уравнении методом Крамера(правило).Рассмотреть на примере системы

Главной матрицей системы является:

Решение:

X₁=

X₂=

X₃=

Δ- определитель матрицы

Δ_1,2,3- определители матриц, которые получают из главной матрицы, но 1,2,3 столбец меняется на

 

 

Решение систем трех линейный алгебраических уравнений методом Гаусса. Рассмотреть на примере системы

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных

1)прямой ход – приведение главной матрицы системы к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

2)Обратный ход – последовательное определение неизвестных.

Элементарное преобразование:

1.менять местами строки

2.умножать строку на число

3. к одной строке прибавить другую

 

---

Дата добавления: 2022-07-16; просмотров: 94; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!