Одношаговые методы решения обыкновенного дифференциального уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Рассмотрим наиболее распространенные численные методы решения задачи Коши (6.1), называемые методами Рунге-Кутта. Пусть – заданное положительное число (шаг). Построим на отрезке сетку .

Пусть – точное решение задачи в точке , а – приближенное в этой же точке. Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки :

(6.12)

Используя линейную часть разложения и заменив на , получим известную формулу метода Эйлера:

(6.13)

Формула позволяет найти приближенное решение в точке через значение решения в точке . Это решение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка , то есть ошибка ограничения метода на одном шаге равна , или . Очевидно, что полученная формула (6.13) есть уравнение касательной в точке к графику точного решения, проведенной с тангенсом угла наклона, равным .

Метод Эйлера – самый грубый из серии методов Рунге-Кутта. Он называется методом Рунге-Кутта первого порядка, так как согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка . Вычисления начинаются с точки , где . Ошибка, полученная на первом шаге, далее увеличивается с ростом .

Если в формуле (6.12) заменить вторую производную соотношением

тогда

(6.14)

Приближенная формула в этом случае имеет вид:

(6.15)

Эта формула неявного метода, так как неизвестное значение присутствует как в левой, так и в правой части в виде аргумента функции .

Ввиду произвольности функции использование формулы (6.15) может привести к тому, что для отыскания значения на каждом шаге придется решать нелинейное уравнение. Заменим на в правой части формулы (6.15) с погрешностью, пропорциональной , то есть , где в качестве можно взять значение, вычисленное по методу Эйлера: .

Тогда правая часть формулы (6.15) изменится на величину

где , то есть разность имеет погрешность, пропорциональную .

Таким образом, вместо формулы (6.15) получим схему явного метода Рунге-Кутта второго порядка:

. (6.16)

Аналогично можно получить другую формулу метода второго порядка с ошибкой на шаге, пропорциональной , то есть

(6.17)

Метод Рунге-Кутта (6.17) согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка .

Наиболее распространенным из этой группы методов является метод Рунге-Кутта четвертого порядка, для которого ошибка ограничения на одном шаге . Определение приближенного решения на основе данного метода осуществляется по следующим формулам:

(6.18)

где

Справедливость приведенных формул проиллюстрируем на следующей элементарной задаче:

(6.19)

Точное решение имеет вид: , где можно представить в окрестности точки в виде суммы ряда Тейлора: Воспользуемся приближенным методом (6.16) для решения данной задачи. В данном случае , в результате получим:

Подставим это выражение в формулу (6.16):

или

Отсюда .

Т.е. , т.к. , чего и следовало ожидать.

Если для задачи (6.19) применить приближенные формулы (6.18), то получим:

или .

Однако в этом случае приближенное решение совпадает с первыми пятью членами разложения точного решения в ряд Тейлора.

Рассматриваемые методы относятся к семейству методов Рунге-Кутта и называются одношаговыми, так как позволяют получить приближения к точному решению в каждом узле сетки на основе известного приближения к решению в предыдущем узле . При этом погрешность метода на каждом шаге равна , где – порядок метода. Однако практически определить величину трудно и, соответственно, трудно выбрать величину шага для вычислений. Для этого используют различные практические способы оценки. Например, правило Рунге оценки погрешности заключается в том, что по одной и той же формуле метода определенного порядка вычисляются приближения к решению в одной точке, но с разными шагами, которые затем используются для получения апостериорной оценки погрешности.

Пусть в начальном узле известно решение . Значение, вычисленное в точке с шагом , обозначим . Значение, полученное в точке через два последовательных шага из точки , обозначим . Можно показать, что справедлива оценка: