Вычисление двойных интегралов

Интегрирование

Двойные интегралы
Объем цилиндрического тела. Понятие двойного интеграла Определение. Цилиндрическим телом (цилиндроидом) называется тело, ограниченное замкнутой областью D плоскости ОХУ, поверхностью z=f(x,y), где функция f(x,y) непрерывна и неотрицательна в области D и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей – границей области D.

Область D –основание цилиндрического тела. Граница области состоит из одной или нескольких замкнутых кусочно-гладких линий. В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может отсутствовать. Например, тело, ограниченное плоскостью ОХУ и верхней полусферой

Объем тела можно представить как сумму или разность объемов цилиндрических тел.

Принципы, лежащие в основе определения объема тела следующие:

· Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей;

· Объем прямого цилиндра, то есть цилиндрического тела, ограниченного плоскостью параллельной плоскости ОХУ, равен площади основания умноженной на высоту тела. Обозначения: V - искомый объем цилиндрического тела;

d1 d2 d3- частичные области, получаемые при разбиении области D на n замкнутых областей произвольной формы;

D D D d1 d2 dn - площади частичных областей

Через границу каждой области проведем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной OZ. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность z=f(x,y) на n кусков, соответствующих n частичным областям. Цилиндрическое тело разбивается на n частичных цилиндрических тел. Выберем в каждой частичной области произвольную точку Pi (xi,yi ) и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой равной zi= f i (xi,yi ). В результате получим n - ступенчатое тело, объем которого равен

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n – ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при n→∞, будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к 0, но чтобы стремились к 0 все ее размеры. Если назвать диаметром замкнутой ограниченной области наибольшее расстояние между точками ее границы, то высказанное требование означает, что диаметры (или радиусы) частичных областей стремятся к 0, а области стягиваются в точку. Таким образом

при стремлении к 0 наибольшего размера частичных областей при n→∞ К отысканию подобных сумм для функции двух переменных приводят и другие задачи.

Рассмотрим вопрос в общем случае. Пусть: f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой области D. δi - частичная область области D Δδi - площадь частичной области f(x,y) - значение функции в точке Pi (xi ,yi ) Є δi

Составим сумму

Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению области D на n – частичных областей. Определение.Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей Записывается:

Таким образом, объем цилиндрического тела, рассмотренного выше, выражается двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела.

Теорема ( o существования двойного интеграла). Если f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, то есть не зависит от способа разбиения области на частичные области и выбора в них точек .

Свойства двойных интегралов

Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. 1.Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от этих функций:

2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ двойного интеграла:

3. Если область D разбита на две области D1 , D2 без общих внутренних точек, то интеграл по области D можно представить в виде суммы интегралов по каждой из этих подобластей:

4. Если во всех точках области D функция f(x,y)≥φ(x,y), то:

Следствие. Если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет своего знака, то двойной интеграл от функции того же знака, что и сама функция.

Свойство 3 и следствие свойства 4 позволяют уточнить геометрический смысл двойного интеграла. Если объему цилиндрического тела, расположенному над плоскостью ОХУ приписываем знак «+», а расположенного под плоскостью ОХУ – знак «-», и если z=f(x,y) – уравнение ограничивающей поверхности

Если f(x,y)=1, то: т.е. площадь области интегрирования Двойной интеграл выражает объем прямого цилиндра с высотой равной 1, то есть объем численно равен площади основания. 5. Значение двойного интеграла заключено между произведениями наименьшего (m) и наибольшего (M) значений подынтегральной функции в области D на площадь области

6. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования, то есть: -- среднее значение функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов

При вычислении элемент dδ удобнее представлять в следующем виде. Область D в плоскости ОХУ разбивается на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Эти прямые соответственно параллельны ОХ и ОУ. Частичные области - прямоугольники. Площадь каждой частичной области, не примыкающей к границе D, будет равна произведению Δx∙Δy . Поэтому запишем

При вычислении (*) опираемся на то, что он выражает объем V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью z=f(x.y).

Для вычисления V имеет место другая формула, а именно

где S(x) – площадь поперечного сечения тела плоскостью перпендикулярной ОХ, а x=a, x=b уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Соответствующий рисунок:

Предположим, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая параллельная оси ОХ или оси ОУ пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рисунке:

Область D заключена внутри прямоугольника a≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d . A,B,C,E – точки касания. Интервал [a,b] – ортогональная проекция области D на ось ОХ. Интервал [c,d] - ортогональная проекция области D на ось ОУ. Точками А и С граница разбивается на две линии: y = y1 (x) → (ABC) y = y2 (x) → (AEC) x = x1 (y) → (BAE) x = x2 (y) → (BCE)

Аналогично точками В и Е граница разбивается на две линии.

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью параллельной плоскости OYZ, т.е. x=const, где a≤x≤b. В сечении получим криволинейную трапецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции f(x,y), рассматриваемой как функция от одной переменной y, причем y изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R; x=const в области D (P – точка входа, R - точка выхода). является некоторой функцией от х. Из уравнений линий ABC и AEC следует, что ординаты этих точек при взятом x соответственно равны y1 (x), y2 (x) . Следовательно, интеграл дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х, т.е. площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х.

Обозначим

Согласно формулы (**) объем всего тела будет равен интегралу от S(x) в интервале изменения х: a≤ x ≤ b . Тогда после замены S(x) получим:

Запишем в более удобной форме:

Меняя роли х и y, т.e., рассматривая сечение тела плоскостью y=const: c ≤ y ≤ d , находим площадь Q(y) такого сечения где y считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(y) в пределах интегрирования c ≤ y ≤ d получаем второе выражение для двойного интеграла, т.е.

Формулы (***) и (****) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов. Причем, во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную величину. Правые части формул (***) и (****) называются повторными (или двухкратными) интегралами – сам процесс расстановки пределов интегрирования – приведением двойного интеграла к повторному. Если область D – прямоугольник со сторонами параллельными осям координат, т.е. имеет вид, представленный на рисунке, то пределы интегрирования – постоянные величины:

В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо прежде всего построить область интегрирования, удобнее изображать ее прямо в области ОХУ. Затем нужно установить порядок интегрирования, т.е. определить по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой внешнее, и расставить пределы. В следующих примерах показано, как производится расстановка пределов интегрирования.

ПРИМЕР 1. Привести к повторному двойной интеграл , если область D – треугольник, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=a.

Решение. Если интегрировать сначала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии у=0 по линии у=х, а внешнее – от точки х=0 до точки х=а. Тогда

Замена переменных в двойном интеграле Полярные координаты При вычислении определенных интегралов важную роль играет правило замены переменной, согласно которому при соблюдении соответствующих условий имеем:

Обычно функция x=φ(u) монотонна; тогда существует взаимнооднозначное соответствие между точками интервала [u1 , u2 ] изменения переменной u и точками интервала [x1 , x2 ] изменения переменной х.

Заменяя x=φ(u), получаем dx=φ’(u)du . При переходе в двойном интеграле от переменных x,y к новым переменным u,v: x=x(u,v), y=y(u,v) (*) формула замены:

Двойные интегралы в полярных координатах Применим формулу (**) к преобразованию с помощью полярных координат: x=rcosφ, y=rsinφ, r≥0, 0≤φ≤2π (- π ≤φ≤π ) Якобиан будет равен

Тогда

Где D и D’ - соответствующие друг другу области в плоскостях OXY и O1 rφ (здесь r и φ рассматриваются как декартовы координаты точки).

Например, пусть D - полукруг радиуса R, расположенный в полуплоскости y≥0. Во вспомогательной плоскости O1 rφ ему соответствует прямоугольник 0≤r≤R, 0≤φ≤2π (точке (0,0) плоскости OXY соответствует отрезок [0,π] на оси O1φ в плоскости O1 rφ . Это нарушение взаимной однозначности происходит на границе области D’, при этом формулы преобразования сохраняются). Если D - весь круг радиуса R, то ему соответствует прямоугольник 0≤r≤R, 0≤φ≤2π

Формулу для элемента площади в полярных координатах можно получить из геометрических соображений. Построим в плоскости OXY координатные линии для полярной системы координат: r=const, φ=const. Они разбивают плоскость на криволинейные четырехугольники, ограниченные дугами концентрических окружностей и их радиусами.

Рассмотрим выделенный четырехугольник.

Его площадь

Второе слагаемое – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем первое слагаемое. Отбрасывая его получим приближенное равенство Δδ=rΔrΔφ => dδ=rdrdφ, а это приводит к формуле (***).

Замечание. Чтобы привести двойной интеграл в полярных координатах к повторному, обычно нет необходимости строить область D’ во вспомогательной плоскости O1 rφ , а можно просто руководствоваться следующими правилами: 1. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования D, заключенной между лучами φ = φ1 , φ = φ2 и линии φ=const встречают ее границу не более чем в двух точках. Возможны такие области

Полярными уравнениями кривых AEC и ABC пусть будут r =r1 (φ), r = r2 (φ). Обе функции непрерывны в замкнутом интервале . Интегрируя сначала по r в пределах его изменения при постоянном φ, т.е. от r =r1 (φ) k r = r2 (φ), а затем по φ, получим:

Если линия ACE (левый рисунок) стягивается в точку 0, то r =r1 (φ)=0, В частном случае, когда областью интегрирования служит часть кругового кольца r1≤r≤r2 , φ1≤φ≤φ2 , пределы интегрирования постоянны по обеим переменным:

2. Пусть полюс содержится внутри области интегрирования. Полярный радиус пересекает границу в одной точке. Интегрируя сначала по r, затем по φ , получаем

где r =r(φ) - полярное уравнение границы области. В частности, когда r =r1 (φ)==const=R , т.е., когда область интегрирования есть круг с центром в полюсе, получаем

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!