Восьмеричная система счисления
8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.
Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8n, где n — это номер разряда. Получается, что 2548 = 2*82 + 5*81 + 4*80 = 128+40+4 = 17210.
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.
В качестве примера возьмем число 4F516. Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F516 = (100 1111 101)2. Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2n, где n — номер разряда: (0*22+1*21+0*20) (0*22+1*21+1*20) (1*22+1*21+0*20) (1*22+0*21+1*20) = 23658.
Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная
|
|
|
Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.
Однородные позиционные системы счисления
Рассмотренные выше позиционные системы счисления – примеры однородных систем счисления.
Смешанные системы счисления
Теорема: “если P=Qn (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”
Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:
1. Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
2. Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.
Яркий пример — перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 100111102, для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2n, где n — номер разряда, 010 011 110 = (0*22+1*21+0*20) (0*22+1*21+1*20) (1*22+1*21+0*20) = 2368. Получается, что 100111102 = 2368. Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 2368 = (10 011 110)2-8.
|
|
|
Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева
(раскрыть системы через примеры)
Перевод из одной системы счисления в другую
Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.
Преобразование в десятичную систему счисления
Имеется число a1a2a3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на bn, где n — номер разряда. Таким образом, (a1a2a3)b = (a1*b2 + a2*b1 + a3*b0)10.
Пример: 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 4+0+1 = 510
Преобразование из десятичной системы счисления в другие
Целая часть:
1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.
Дробная часть:
1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
|
|
|
2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.
Пример: переведем 1510 в восьмеричную:
15\8 = 1, остаток 7
1\8 = 0, остаток 1
Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 1510 = 178.
Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы
Для перевода в восьмеричную — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2n, где n — номер разряда.
В качестве примера возьмем число 10012: 10012 = 001 001 = (0*22 + 0*21 + 1*20) (0*22 + 0*21 + 1*20) = (0+0+1) (0+0+1) = 118
Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!