Способы изображения параллелепипеда
Тетраэдр и параллелепипед, построение сечения
Конспект урока
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1. понятие тетраэдра;
2. понятие параллелепипеда;
3. свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
4. определение сечения в фигуре;
5. метод следа.
Глоссарий по теме
Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
Основная литература:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.
Открытый электронный ресурс:
Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.
|
|
Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.
Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.
Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.
Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.
Тетраэдр состоит:
1. из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
2. из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
3. из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.
Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.
Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.
|
|
Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.
Считается АВС - основание, остальные грани - боковые.
Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).
Рисунок 1 – изображение тетраэдра.
Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).
Форма пакета молока | Архитектурные решения | Солнечные панели |
Рисунок 2 - тетраэдр в повседневной жизни
Параллелепипед.
Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.
Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).
Рисунок 3 – параллелограмм
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=DC, BC=AD | |
2. Противоположные углы параллелограмма равны: ∟A=∟C, ∟B=∟D | |
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: BO=OD, AO=OC | |
4.Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: треугольники ABC и CDA равны. | |
5.Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180° | |
6. Накрест лежащие углы при диагонали равны: ∟BAC=∟ACD, ∟BCA=∟CAD |
А теперь перейдем к параллелепипеду.
|
|
Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.
АВСDА1В1С1D1 — параллелепипед.
Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).
Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали
АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.
Все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда.
Считается: АВСD и A1B1C1D1 - основания, остальные грани - боковые.
Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.
Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.
|
|
Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.
Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).
Способы изображения параллелепипеда
Параллелепипед, в основании которого лежит ромб | |
Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат | |
Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм | |
Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты |
Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)
Рисунок 5 – виды параллелепипедов
Свойства параллелепипеда
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство 1
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1грани ВВ1С1С и AA1D1D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ1 и В1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА1 и A1D1 другой; эти грани и равны, так как В1С1 = A1D1, В1В= А1А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ1С1= ∟АA1D1.
Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1
Доказательство 2
Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС1 и ВD1, и проведём вспомогательные прямые АD1 и ВС1 (рис. 7).
Так как рёбра АВ и D1С1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD1С1В есть параллелограмм, в котором прямые С1А и ВD1 —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.
Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС1, с третьей диагональю, положим, с В1D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B1D и АС1 и диагонали АС1 и BD1(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС1. Наконец, взяв эту же диагональ АС1 с четвёртой диагональю А1С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.
Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 42; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!