Основы метода параметрического уранивания

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании

кафедры прикладной геодезии

«13» октября 2014 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к заданиям по дисциплине «Теория математической

обработки геодезических измерений» на тему:

Уравнивание нивелирных сетей параметрическим способом

для студентов 2-го курса очного и заочного по специальности 120400.65 «Прикладная геодезия» и направлению подготовки 120401.62 «Геодезия и дистанционное зондирование»

Ростов-на-Дону

2014

УДК 528.1

ББК 26.104

Методические указания по дисциплине "Теория математической обработки геодезических измерений". Уравнивание нивелирных сетей параметрическим способом / для студентов 2-го курса очного и эаочного по специальности 120400 «Прикладная геодезия» и направлению подготовки 120401 «Геодезия и дистанционное зондирование».- Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит. ун-т, 2014.- 20 с.

В методических указаниях даны основы уравнивания геодезических сетей параметрическим способом. Приведена схема решения нормальных уравнений с использованием алгоритма Гаусса. Рассмотрен пример обработки нивелирной сети по методу наименьших квадратов. Разработаны варианты индивидуальных заданий для студентов.

УДК 528.1

Составители: к.т.н., доцент Губеладзе А.Р.

инженер Губеладзе И.О.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пимшин Ю.И.

Редактор Н.Е. Гладких

Доп. план 2014 г., поз.

Подписано в печать Формат 60х84/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд. л. Усл.-печ. л. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д., ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

Строительный университет, 2014

Основы параметрического способа уравнивания

Задачи и методы уравнивания

Для однозначного определения значений k неизвестных параметров необходимо и достаточно измерить k величин. Поскольку в геодезии существует принцип избыточности измерений, то число r = n - k, где n - число всех измеренных величин, является избыточным. При этом избыточные измерения должны находиться с необходимыми в функциональной зависимости. Наилучшее решение в процессе обработки результатов измерений получают согласно принципу наименьших квадратов, который состоит из следующего условия

, (1)

где р - веса измеренных величин;

v - поправки в измеренные значения.

Определение окончательных значений искомых величин при избыточных измерениях называют уравниванием, а эти же действия с соблюдением условия (1) - уравниванием по способу наименьших квадратов или строгим уравниванием.

Реализация метода наименьших квадратов позволяет решить следующие задачи:

1) исключается неопределенность решения, связанная с избыточным числом измерений;

2) повышается точность и надежность получаемых результатов за счет оптимального использования всех измерений;

3) выполняется оценка точности результатов измерений и полученных значений, также функций от них.

Строгое уравнивание может быть реализовано либо параметрическим, либо коррелатным способами или их разновидностями.

Обязательным условием уравнивания является возможность функционально выразить все измеренные величины через уравниваемые параметры.

В геодезической практике встречаются случаи, когда необходимо определить некоторые величины косвенным путем, причем эти величины должны быть связаны с измеряемыми функциональными зависимостями.

Основы метода параметрического уранивания

Предположим нам известны результаты измерений n величин x₁, x₂, ... , x_n. Требуется определить надежные значения k величин T₁, T₂, ... , T_k, которые связаны с уравненными значениями X₁, X₂, ... , X_k измеренных величин определенными функциональными зависимостями:

(2)

Равенства такого вида называются параметрическими уравнениями связи. Согласно (2) имеем

(3)

В случае, если имеют место результаты неравноточных измерений x₁, x₂, ... , x_n , устанавливают веса p₁, p₂, ... , p_n .

Уравненные значения измеренных величин будут

X_i = x_i + v_i , (4)

где v_i - поправки в результаты измерений.

Тогда равенства (3) с учетом (4) примут вид

(5)

Полученные равенства называются уравнениями поправок в общем виде.

В системе (5) число неизвестных будет n + k > n , т.е. превысит число уравнений в системе, что приводит к неопределенности решения. Для нахождения неизвестных воспользуемся принципом наименьших квадратов. Определим значения T₁, T₂, ... , T_k при условии

Сделаем замену неизвестных через приближенные значения t_j и поправки к ним δ t_j

T_j = t_j + δ t_j . (6)

Полученные значения неизвестных из (6) подставляем в уравнения системы (5). В результате чего получим

(7)

Нелинейные функции (7) необходимо привести к линейному виду, разложив в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми степенями разложения

(8)

Введем следующие обозначения

Подставив введенные обозначения в уравнения (8), получим уравнения поправок в линейном виде

(9)

Для вычисления коэффициентов нормальных уравнений воспользуемся табличным способом (табл. 1).

Определение коэффициентов нормальных уравнений

Таблица 1

№ уравнения	a]	b]	…	g]	l]	s]	p	v	pv	pvv	plv
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	a₁	b₁	…	g₁	l₁	s₁	p₁	v₁	p₁v₁	p₁v₁v₁	p₁l₁v₁
2	a₂	b₂	…	g₂	l₂	s₂	p₂	v₂	p₂v₂	p₂v₂v₂	p₂l₂v₂
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	a_n	b_n	…	g_n	l_n	s_n	p_n	v_n	p_nv_n	p_nv_nv_n	p_nl_nv_n
Суммы	[a]	[b]	…	[g]	[l]	[s]		[v]	[pv]	[pvv]	[plv]
Неизвест.	δt₁	δt₂	…	δt_k
[pa	[paa]	[pab]	…	[pag]	[pal]	[pas]
[pb		[pbb]	…	[pbg]	[pbl]	[pbs]
…	…	…	…	…	…	…
[pg				[pgg]	[pgl]	[pgs]
[pl					[pll]	[pls]
[ps						[pss]

В результате получаем коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений в параметрическом способе уравнивания:

(10)

При заполнении верхней части таблицы выполняется контроль сумм:

, (11)

а в нижней части данной таблицы

(12)

Контролем будут следующие выражения:

(13)

Решение нормальный уравнений осуществляется согласно схеме Гаусса- Дулитля (табл. 2).

При решении нормальных уравнений выполняют следующие виды контроля: промежуточный и по [pvv]. Промежуточный контроль – это суммарный контроль и делается в схеме Гаусса-Дулитля согласно формулам (12) и (13) в процессе решения нормальных уравнений (табл. 2).

Контролем по [pvv] являются следующие равенства:

- в табл. 2 при решении нормальных уравнений в графах 4 и 5

, (14)

где

;

- в табл. 1 после нахождения поправок v_i в измеренные значения

. (15)

Таким образом, значение [pvv] определяется на различных этапах уравнивания в параметрическом способе и является сквозным контролем уравнительных вычислений. Заключительный контроль осуществляется подстановкой уравненных значений измеренных величин и найденных неизвестных в равенства (3).

δ t₁	δ t₂	δ t₃	l	s	Контроль
1	2	3	4	5	6
[paa] -1 δ t₂ δ t₁	[pab] [pbb] [pbb·1] -1 δ t₂	[pac] [pbc] [pbc·1] [pcc] [pcc·2] -1 δ t₃	[pal] [pbl] [pbl·1] [pcl] [pcl·2] [pll] [pll·3]	[pas] [pbs] [pbs·1] [pcs] [pcs·2] [pls] [pls·3]	Σ₁ Σ₂ [Σ₂·1] Σ₃ [Σ₃·2]