Некоторые следствия из аксиом

Тема 8.1.

Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них.

Цели занятия:

1) ознакомить студентов с содержанием курса стереометрии;

2) изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Ход занятия

I. Организационный момент

II.Новый материал

Преподаватель знакомит с понятием стереометрии: Мы с вами с 7 класса начали знакомиться со школьным курсом геометрии.

Вопрос: что такое геометрия? (Геометрия - наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» - греческое, в переводе - «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.) В 7-9 классах вы с вами изучали первый раздел геометрии - планиметрию.

Вопрос: что такое планиметрия? (Планиметрия - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.)

Вспомним основные понятия планиметрии (точка, прямая: обозначение, изображение).

Необходимо отметить, что эти понятия не определяемы, они принимаются интуитивно.

Сегодня мы приступим к изучению нового раздела геометрии - стереометрии.

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучается свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Основные фигуры в пространстве: точка, прямая и плоскость.

Плоскость

Представление плоскости дает гладкая поверхность стены, стола.

Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся во все стороны, не ограниченной.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Необходимо отметить, что об этих фигурах мы имеем наглядное представление, но определения этих фигур в геометрии не даются. Их свойства выражены в аксиомах. С ними мы познакомимся немного позже.

Наряду с точкой, прямой и плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела, изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Модели и примеры из окружающей действительности.

Теперь рассмотрим аксиомы стереометрии.

Вопрос:

1) Что такое аксиома? (Аксиома - утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.)

2) Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

- через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

- из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах:

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если взять не 3, 4 точки произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, т.е. 4 точки могут не лежать в одной плоскости. Из аксиомы 1 следует, что 2 прямые в пространстве имеют только 1 общую точку, либо ни одной. Прямые имеющие 1 общую точку называются пересекающимися.
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. (3 случая расположения прямой и плоскости)
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Плоскости называются пересекающимися. Общая прямая называется прямой пересечения плоскостей. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Некоторые следствия из аксиом

Следствие 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. Дано: Доказать: Док-во: 1) о существовании 2) о единственности
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. Док-во рассмотреть самостоятельно

III. Практическая часть.

Задача

ABCD - ромб, О - точка пересечения его диагоналей,

М - точка пространства, не лежащая в плоскости ромба.

Точки A, D, О лежат в плоскости .

Дайте ответ на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями.

1. Лежат ли в плоскости точки В и С?

2. Лежит ли в плоскости МОВ точка D?

3. Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и ADO.

4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°.

Решение

Дано: ABCD - ромб, AC BD = O, M , (A, D, О) .

АВ = 4 см, А = 60°.

Найти: (В, С) , D MOB, MOB ADO, S_abcd

Решение:

1)D , О , то по DO , так как В DO, то В . (по А2)

Аналогично A , О , то АО , так как С AO, то С .(по А2)

2)OB MOB, D OB, то D MOB.

3)О МОВ, О ADO.

В МОВ, B ADO => MOB ADO = ВО, но так как ВО - часть DB, то MOB ADO = DB.

Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

4)S_ромба = AB²•sin А=4 • 4 • sin 60° = 8 (см²).

Решение задач.№1, 2, 6, 7, 9, 10, 14, 9,

IV. Вопросы для закрепления

1. Что изучает стереометрия?

2. Назовите основные фигуры в пространстве.

3. Сформируйте основные аксиомы стереометрии.

V. Задание на дом

самостоятельная работа с учебником Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы (повторить А1-А3, рассмотреть доказательство следствия 2), Введение стр.3-8
подготовить сообщение на темы «Предмет стереометрии», «Прикладное (практическое) значение геометрии»,
задачи ,

Литература Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы.

Задача