Задачи для самостоятельного решения.
Решить тест. (тест будет открыт до среды, 2 попытки)
1. Переписать все в тетрадь (и теорию и полностью разобранные примеры).
2. Решить задачи для самостоятельного решения и прислать фото с решенными задачами до 8.02.
Применение производной для исследования функций.
Понятие производной – одно из важнейших в математике. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наименьшие значения и т. д.
Промежутки монотонности функции
Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками ее монотонности
Теорема. Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Алгоритм нахождения промежутков монотонности функции:
1. Находим область определения функции f(x).
2. Вычисляем производную f'(x) данной функции.
3. Находим точки, в которых производная f'(x)= 0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
|
|
4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
5. Исследуем знак производной функции на каждом интервале. Если f'(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f'(x)<0, то на таком интервале функция f(x) убывает.
Рассмотрим теперь нахождение промежутков возрастания/убывания на конкретном примере функции.
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5.
1. Область определения: R.
2. Вычисляем производную: y'=(2x3-3x2-36x+5)'=6x²-6x-36.
3. Находим критические точки: y'=0.
6x²-6x-36=0
x²-x-6=0
Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
x1=-2, x2=3
4. Делим область определения на интервалы: (-∞;-2],[-2;3] и [3;+∞),
5. Исследуем знак производной на каждом интервале.
x=-3 є (-∞;-2] y'(-3)=6*(-3)2-6*(-3)-36=18>0
x=0 є [-2;3] y'(0)=6*02-6*0-36=-36<0
x=4 є [3;+∞), y'(4)=6*42-6*4-36=36>0
Отмечаем все на следующей схеме:
y' |
y |
Функция возрастает при xϵ(-∞;-2] U [3;+∞) (, функция убывает при xϵ[-2;3].
Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x².
1. Область определения: R.
2. Вычисляем производную: y'=(x3-3x2)'=3x²-6x.
|
|
3. Находим критические точки: y'=0.
y'=3x2-6x=0
x²-2x=0
x(x-2)=0
x1=0 и x2=2
4. Делим область определения на интервалы: (-∞;0], [0;2] и [2;+∞),
5. Исследуем знак производной на каждом интервале.
x=-1 є (-∞;0] y'(-1)=3*(-1)2-6*(-1)=9>0
x=1 є [0;2] y'(1)=3*12-6*1=-3<0
x=4 є [2;+∞) y'(4)=3*42-6*4=24>0
Отмечаем все на следующей схеме:
y' |
y |
Функция возрастает при xϵ(-∞;0] U [2;+∞), функция убывает при xϵ[0;2].
Пример №3. Найти промежутки монотонности функции y=2x2-lnx
1. Область определения: x>0, т.к. значение под знаком логарифма может быть только положительным.
2. Вычисляем производную:
3. Находим критические точки: y'=0.
(2x-1)(2x+1)=0
4. Делим область определения на интервалы:
5. Исследуем знак производной на каждом интервале.
Отмечаем все на следующей схеме:
Функция возрастает при xϵ и функция убывает при xϵ
Задачи для самостоятельного решения.
Найти промежутки монотонности следующих функций:
1)
2)
3)
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 10; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!