Примеры для самостоятельной работы

Лекция № 16

Нахождение оригинала по изображению функции

При отыскании оригинала по изображению функции в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения (первую и вторую).

Первая теорема разложения. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т.е.

(этот ряд сходится к при | p| > R, где ), то оригинал f(t) находится по формуле

причем этот ряд сходится для всех значений t.

Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал для изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от р, т.е. , где и(р) и v(р) – многочлены от р соответственно степени т и п, причем т < п.

Если разложение v(р) на простейшие множители имеет вид

то функцию можно разложить на сумму элементарных дробей вида , где j принимает все значения от 1 до r, а s – все значения от 1 до k_j. Таким образом,

Все коэффициенты этого разложения можно определить по формуле

. (1)

Вместо этой формулы для вычисления коэффициентов могут быть использованы элементарные приемы, применяемые в интегральном исчислении при интегрировании рациональных дробей. В частности, это целесообразно делать в тех случаях, когда все комплексные корни знаменателя v(р) простые и попарно сопряженные.

Если все корни v(р) простые, т.е.

то разложение упрощается:

, где .

При отыскании тем или иным способом разложения на простейшие дроби оригинал f(t) находится по следующим формулам:

а) в случае кратных корней знаменателя v(р)

; (2)

б) в случае простых корней знаменателя v(р)

. (3)

Эта теорема может быть обобщена на случай любой мероморфной функции (отношения двух целых трансцендентных функций). Примером мероморфной функции может служить th р – отношение целых функций sh p и ch p. При некоторых ограничениях, точную формулировку которых можно найти в курсах теории функции комплексного переменного,[1] мероморфная функция разлагается в ряд по простейшим дробям:

. (4)

Здесь принято, что целая функция в знаменателе v(р) имеет только простые корни р₁, р₂, р₃, …, причем у нее нет нулевого корня; предполагается далее, что вещественные части всех корней ограничены; иными словами, все полюсы лежат слева от некоторой прямой, параллельной мнимой оси плоскости р. Впрочем, можно ограничиться требованием, чтобы справа от этой прямой лежало лишь конечное число полюсов .

Оригинал, соответствующий изображению (4), будет

Пример 11. Найти оригинал функции .

Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны:

По формулам VI и VII таблицы имеем

; ,

поэтому .

Пример 12. Найти оригинал функции .

И в этом примере, используя элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления, разложим данную дробь на простейшие:

Для определения коэффициентов имеем тождество

Полагая р = 3, находим 1 = 27 А; . Приравнивая коэффициенты при р² нулю и свободный член – единице, получим А + В = 0, 9А – 3С = 1. Отсюда В = - А = ; С = . Следовательно,

Таким образом,

Отсюда, используя формулы III, VI, VII таблицы изображений, находим

Пример 13. Найти оригинал функции .

Разложение на простейшие дроби имеет вид

Находим коэффициенты этого разложения, используя формулу (1):

;

Таким образом,

Отсюда, используя формулу VIII, находим

Пример 14. Найти оригинал функции .

Поскольку в данном случае все корни знаменателя действительные и простые, лучше всего воспользоваться формулой (3). Имеем

, ;

Находим корни v(p): р₁ = 0; р₂ = 1; р₃ = 2; р₄ = 3. Далее, получим

; ; ; .

Отсюда по формуле (3) определяем

Пример 15. Найти оригинал , используя первую теорему разложения.

Имеем .

Этот ряд сходится при . Отсюда вычисляем

Примеры для самостоятельной работы

13. Найти f(t), если .

Найти оригиналы по данным изображениям:

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. .

20. С помощью первой теоремы разложения найти оригинал для функции , где k – целое положительное число.

21. С помощью первой теоремы разложения найти оригинал для функции .

Общая формула обращения

Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами:

1. f(t) º 0 при t < 0;

2. при t > 0, где М > 0 и s₀ – некоторые действительные постоянные;

3. На любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.: а) ограничена; б) либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрыва I рода; в) имеет конечное число экстремумов.

Тогда функция , определяемая равенством , является аналитической в полуплоскости Re p ³ s₁ > s₀. При этом справедлива формула обращения (формула Римана – Меллина)

, или ,

дающая выражение оригинала f(t) через изображение , причем s - произвольное число, удовлетворяющее неравенству s > s₀.

Если , где , -p < q < p, R > R₀, R₀, C, k > 0 – постоянные, то интеграл в формуле обращения может быть заменен на интеграл , где g - окружность с центром в начале координат, которая содержит внутри все полюса функции . Следовательно, .

Применив основную теорему о вычетах, получаем

где r₁, r₂, …, r_m – вычеты функции F(p) относительно полюсов. Итак, . Эта формула для дробно-рационального изображения в подробной записи есть не что иное, как формулы (2) и (3).