Силы, действующие на диполь в электрическом поле
Лекция 2
Итак, мы имеем уравнения Максвелла:
СГСЕ СИ
divB = 0 = 0
divD = 4πρe = ρe
B = µH = µοµH
В =εE = εοεE
Выясним, что такое ε и µ. Для этого сначала вспомним статику и что такое E , D и H , B в уравнениях Максвелла в случае статических полей (поля не меняются во времени) при наличии реального вещества.
I Электростатическое поле в веществе
Электрическое поле в вакууме
(вспомним основные понятия и соотношения)
1. Источником электростатических полей являются заряды q (положительные и отрицательные).
2. Закон сохранения заряда – электрический заряд в любой замкнутой электродинамической системе остается постоянным.
3. Электрический заряд релятивистски инвариантен, т. е. его величина не зависит от системы отсчета и от его скорости.
4. Проявление поля – это наличие силы F, действующей на пробный заряд q (малый по величине), помещенный в данную точку пространства. Эта сила F равна: F = qE .
Направление силы, действующей на положительный заряд, совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля E в точке нахождения пробного заряда, а на отрицательный заряд противоположно вектору E .
|
|
|
5. Электрическое поле точечного заряда q равно:
СИ СГСЕ
где r – радиус-вектор, исходящий из точки нахождения точечного заряда;
1/4πεο =9*109 [м/Ф], q [Кл], E [В/м], εο[Ф/м] – электрическая постоянная.
6. Принцип суперпозиции для E – поле от нескольких зарядов равно векторной сумме от полей Ei , создаваемых соответствующими зарядами qi:
где ri – радиус-вектор i-того заряда qi.
Если заряды распределены в некотором объеме V, то:
где ρ – плотность заряда в точке r .
Если заряды распределены на некоторой поверхности S, то:
где σ – поверхностная плотность заряда в точке r.
Если заряды распределены на некоторой бесконечно тонкой линии L с линейной плотностью λ, то:
7. Геометрическое описание электрического поля. Его изображают в виде силовых линий. При этом стрелочки обозначают направление E, а густота силовых линий пропорциональна модулю вектора E = | E |.
8. Свойство векторного поля E : а) описывается теоремой Гаусса. Поток Ф вектора электрического поля E через замкнутую поверхность S равен сумме всех (!) зарядов, находящихся внутри объема V, ограниченного поверхностью S.
|
|
|
В СИ
В CГCЕ напишите сами
ρвн – все (любые сторонние индуцированные и связанные) заряды внутри замкнутой поверхности S. Что это за заряды рассмотрим ниже.
Это интегральная форма записи. В дифференциальной форме он имеет вид:
divЕ = 4πρвн
в) Еще одно свойство векторного поля Е определяется теоремой о циркуляции. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точки. В нашем случае работа по перемещению единичного заряда в электрическом поле от точки 1 до точки 2 в пространстве равна
,
а по замкнутой траектории (циркуляция вектора Е) равна нулю
– это интегральная форма записи уравнения Максвелла ( 2-е уравнение).
Его дифференциальная форма имеет вид:
rotE = 0
9. Другое адекватное описание электрического поля E через потенциал φ (скалярная функция) электрического поля:
– интегральная форма записи или E = - grad φ – дифференциальная форма, где φ1 – φ2 – разность потенциалов в точках 1 и 2.
|
|
|
Потенциал электрического поля точечного заряда q равен:
φ(r) = q/4πεοrв СИ и φ(r) = q/rв СГСЕ,
где r – расстояние от точечного заряда до точки, в которой определяется потенциал.
Потенциал электрического поля от совокупности зарядов равен
, где φi – потенциал поля заряда qi в искомой точке пространства.
Поверхности, где потенциал φ = константе – называют эквипотенциальными поверхностями.
Электрический диполь
Поле электрического диполя
Кроме не связанных между собой зарядов – свободные заряды, могут быть и связанные между собой заряды.
Система из двух одинаковых по модулю зарядов разного знака, находящихся на расстоянии друг от друга на расстоянии l друг от друга, называется электрическим диполем.
Такая система создает в пространстве электрическое поле. Оно обладает осевой симметрией, и ось симметрии есть прямая, проходящая через оба заряда, положительный q+ и отрицательный q–. Пусть начало координат находится в центре диполя (сердцевина между зарядами), тогда потенциал φ электрического поля в т. r , создаваемого двумя электрическими зарядами, будет:
,
где r+ и r– – расстояния от т. r до положительного и отрицательного зарядов, соответственно.
|
|
|
Если расстояние от центра диполя до т. r значительно больше расстояния между зарядами l | r | >> l , то φ примерно равно:
Величину P , равную P = ql – называют электрическим моментом диполя (здесь q = q+) – это вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, а его начало совпадает с центром диполя. Тогда:
,
где Θ – угол между вектором P и радиус–вектором точки r.
Найдем напряженность электрического поля E в т. r, используя связь между напряженностью E и потенциалом φ электрического поля в т. r E = - grad φ или
,здесь El – проекция вектора напряженности электрического поля E на направление перемещения 
, а n - единичный вектор в направлении перемещения.
– производная по направлению перемещения 
.
В полярной системе координат проекции векторов Er и EΘ равны:
Подставляя в них значение для потенциала φ электрического поля диполя в т. r получим для компонент Er и EΘ:
Для модуля вектора E будем иметь:
В частности, при Θ = 0, электрическое поле | E | = E|| равно
,
а при Θ = π/2
Таким образом, при одном и том же r (на одном и том же расстоянии от диполя) поле на оси диполя E|| в 2 раза больше поля E┴ .
Силы, действующие на диполь в электрическом поле
а) Результирующая сила F, действующая на диполь со стороны внешнего электрического поля E, создаваемого сторонними зарядами, равна векторной сумме сил, действующих на отдельные заряды диполя, и равна:
,
где E + и E – – вектора напряженности электрических полей в т. нахождения положительного q+ и отрицательного q– зарядов диполя, соответственно, а
ΔE = (E + – E –) – есть приращение поля E на длине l (расстояние между зарядами диполя) вдоль направления вектора P электрического момента диполя (от q– к q+).
Т. к. расстояние l между зарядами диполя мало, то ΔE = (E + – E –) = ΔE *l/l = 
(мы ΔE помножили и разделили на малое значение l, эквивалентное Δl и отношение ΔE / Δ l при Δl → 0 заменили на частную производную 
(поля E по направлению l )) и тогда
здесь 
– есть производная по направлению, она не совпадает по направлению ни с вектором E, ни с вектором l, т.е. P. Таким образом, видно, что простота формулы обманчива.
В однородном электрическом поле, т. е. поле E не зависит от координат, производная 
= 0 и сила F = 0.
б) Наряду с результирующей силой F со стороны электрического поля на диполь действует момент сил M, стремящийся развернуть диполь (его электрический момент P) по направлению поля E. Его величина равна:
M =[ r + F + ] + [ r – F – ],
где F + = qE + , а F – = –qE – – силы, действующие на положительный и отрицательный заряды диполя со стороны электрических полей E + и E – в точках нахождения этих зарядов, соответственно и тогда для M можно записать:
M =q([ r + E + ] – [ r – E – ]
При малом l можно положить E + ≈ E – = Е в центре диполя и тогда:
M =q([(r+ – r–) E ]
Т.к. r+ – r– = l , то M =q[l E ] = [P E ]
M = [ P E ]
Таким образом, в неоднородном электрическом поле диполь будет стремиться: а) повернуться по направлению поля E (стремится к P↑↑E и
б) переместиться в сторону, где модуль поля | E | максимален.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 36; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!