Свободные незатухающие колебания.

Лекция 5. «Колебания»

Гармонические колебания. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот. Свободные незатухающие колебания. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория. Физический маятник. Квазиупругая сила.

Положение равновесия и квазиупругая сила.

Рассмотрим одномерное движение тела под действием консервативной силы вдоль оси X. Для потенциальной энергии тела вблизи некоторой точки x₀ можно записать выражение

Потенциальная энергия и вектор консервативной силы связаны соотношением:

откуда для проекции силы на ось X получаем: , т.е.

Далее будем предполагать, что точка x₀ является положением равновесия, поэтому должно выполняться условие , тогда для изменения потенциальной энергии вблизи точки x₀ имеем: и для проекции силы: .

Рассмотрим случай, когда в точке x₀ наблюдается локальный минимум потенциальной энергии. Тогда и существует некоторая окрестность точки U(x₀), для которой выполняется условие и при , при , то есть в этой окрестности вектор силы, действующей на тело, будет направлен к точке x₀. А это значит, что при малых смещениях тела из положения равновесия, сила будет стремиться вернуть тело обратно. Такое положение равновесия называется устойчивым.

Положение равновесия называется неустойчивым, если при малом отклонении от этого положения возникает сила, стремящаяся увести тело от положения равновесия. Очевидно, в этом случае в точке x₀наблюдается локальный максимум потенциальной энергии .

В случае, когда требуется дополнительное исследование.

Итак, выражение для консервативной силы вблизи положения устойчивого равновесия можно записать в векторной форме: , а величину потенциальной энергии + const, где . Такая форма записи для консервативной силы вблизи точки равновесия называется квазиупругой силой.

Запишем второй закон Ньютона для тела, движущегося под действием квазиупругой силы вблизи точки устойчивого положения равновесия:

, где .

Введём ось Х так, чтобы , тогда уравнение движения примет вид: . С учётом зависимости это уравнение примет вид: или

где . Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением этого уравнения являются гармонические функции от времени t:

или ,

описывающие смещение тела от положения равновесия (точка ).

Замечание. Обе формы записи равноправны. Например, одна переходит в другую при .

Так как гармонические функции синус и конус имеют период 2p, то параметры процесса будут повторяться через минимальный промежуток времени Т, называемый периодом:

Таким образом, уравнение

описывает колебательный процесс, параметры которого не изменяются с течением времени. Этот процесс принято называть свободными незатухающими колебаниями.

Учитывая, что величина называется частотой колебаний (единица измерения Гц - Герц), то величину называют круговой или циклической частотой колебаний (единица измерения с^-1).

Величина А – амплитуда колебаний- это модуль максимального смещения. По определению A > 0 – всегда положительная величина. Аргумент гармонической функции называется фазой колебания, а величина a называется начальной фазой колебаний - это фаза колебаний в момент времени t = 0, который обычно называют начальным моментом времени.

В этом колебательном процессе с течением времени сохраняется величина механической энергии: . Действительно:

Свободные незатухающие колебания.

Колебания – движения или состояния, параметры которых повторяются во времени. Колебания в той или иной мере встречаются во всех явлениях природы: от пульсации излучения звёзд, движения планет до внутриклеточных процессов или колебаний атомов и молекул, колебаний полей.

В физике особо выделяют механические и электромагнитные колебания (и их комбинации).

Моделью для изучения механических колебаний является осциллятор – материальная точка или система, совершающая колебательное периодическое движение около положения устойчивого равновесия. (Более того, термин осциллятор применим к любой системе, если описывающие её величины периодически меняются во времени.) Простейшие примеры осцилляторов – грузик на пружине, маятник.

Пример. Груз массы m подвешен на невесомой пружине жесткости k в поле сил тяжести (пружинный маятник). Найти период его колебаний. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Запишем уравнение его движения в проекции на вертикальное направление Y:

или .

где y – величина растяжения пружины. Положение равновесия груза на пружине: . Введём смещение x груза от положения равновесия: , тогда , .

Получаем уравнение: , . Перенесём в последнем соотношении все слагаемые в левую часть и вспомним, что дифференциальное уравнение, описывающее свободные незатухающие колебания, имеет вид: .

Тогда у нас и тогда период колебаний .

Механическая энергия груза на пружине: .§

Пример. Найдем период колебаний математического маятника - материальной точки массы m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиныl .

Решение. Рассмотрим движение маятника в тот момент, когда он поднимается. Отклонение нити от вертикали зададим угловой координатой j. При этом, если угол j увеличивается (против часовой стрелки), то касательное ускорение точки направлено против направления движения. Поэтому уравнение движения имеет вид:

Вблизи положения равновесия проекция силы тяжести должна быть представлена как квазиупругая сила. Если выполняется условие малости колебаний, то , поэтому длина дуги окружности , следовательно, проекция силы тяжести . Поэтому коэффициент в выражении для квазиупругой силы . Касательное ускорение связано с угловым ускорением соотношением (где ), поэтому, после сокращения массы m получим: