Глава 2. Геометрия в пространстве

Раздел 2.

Аналитическая геометрия

Глава 1. Геометрия на плоскости

Системы координат на плоскости

Прямая, на которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоитиз двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке O – начале системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную - осью ординат.

Каждой точке плоскости M сопоставляется ориентированный отрезок OM (радиус-вектор с началом в точке О и концом в точке M. Спроектируем точку М на оси координат (рис.1.1). Каждой точке плоскости M сопоставляется упорядоченная пара чисел (х,y), которые называются декартовыми координатами точки М(х,у). В любой системе координат существует взаимнооднозначное соответствие между точкой и ее координатами. На плоскости расстояние d между двумя точками M(х_i,y_i) и N(x_j,y_j) измеряется по прямой и вычисляется по формуле длины вектора

d² = (x_i - x_j)² + (y_i - y_j)²

или (1.1)

Пример. Найти расстояние d между двумя точками M(-3,4) и N((5.2). Согласно формуле (1.1) имеем

Полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку O, называемую полюсом, и исходящую из нее полуось OP, называемую полярной осью. На полярной оси указываем единицу масштаба. В этой системе координат (рис.1.2) положение точки M задается ее расстоянием r до полюса (т.е. длиной отрезка OM, называемого полярным радиусом точки M) и углом j, который составляет полярный радиус с полярной осью (положительный отсчет угла идет против часовой стрелки), причем -p < j p или 0 j <2p. Числа r и j называются полярными координатами точки М(r, j).

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс совпадают с полюсом и осью полярной системы координат (рис.1.3), то декартовы и полярные координаты точки М связаны м соотношением

х = r cosj y = r sinj . (1.2)

Формулы (1.2) выражают координаты точки M в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе. Отсюда

х² + y² = r²(cos²j+ sin²j)= r² . (1.3)

tgj = . (1.4)

Рис. 1.2. Полярная система координат. Рис. 1.3. Связь полярной и декартовой систем координат.

Преобразование системы координат. Пусть даны две прямоугольные системы координат X₁Y₁ и X₂Y₂(рис.1.4 а). Найдем связь координат точки M(x₁,y₁) в одной из систем координат с ее же координатами (x₂,y₂) в другой системе. Для этого вначале совместим начала координат, сохраняя старые направления осей (рис.1.4 б), потом одну из систем повернем так, чтобы оси совпали направления координат.

Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка O₁ имеет координаты (0,0), точка O₂ - (а,b), а точка M - (x₁,y₁). Рассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы имеем

х₁ = а + x₂, y₁ = b + y₂. (1.5а)

1.4 а. 1.4 б. Рис. 1.4. Преобразования координат.

Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям

x₂ = x₁ - a. y₂ = y₁- b. (1.5 б)

Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси OX₁ и OX₂ повернуты на угол j. Из рис. 1.4 б следуют соотношения

x₁ = x₂cosj - y₂ sinj (1.6)

y₁ = x₂ sinj - y₂ cosj.

В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями

х₁ = х₂cosj - y₂ sinj + a

y₁ = x₂ sinj + y₂ cosj + b (1.7)

или

x₂ = x₁ cosj + y₁ sinj - a

y₂ = -x₁ sinj + y₁ cosj - b.

Пример. Как изменятся координаты точки M(-2,3), если система будет повернута на 30⁰ и сдвинута вверх на две единицы?

Применяя формулы (1.7) для x₁= -2, y₂ = 3, угла j = 30⁰, а =0 и b = 2, имеем

x₂ = -2cos30⁰ + 3sin30⁰ = -2 + 3 = -

y₂ = 2sin30⁰ +3cos30⁰ - 2 = 2 + 3 -2 = - 1

Прямая линия на плоскости.

Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке B(0, b) под углом j к оси абсцисс (см. рис.1.5.а). Выберем на прямой произвольную точку M(x,y) (такая точка называется текущей). Проекции направленного отрезка BM на оси координат соответственно равны пр_хBM = х, пр_уBM = y - b. При скольжении точки M по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное

tg j = = k (1.8)

сохраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Тангенс угла φ называется угловым коэффициентом и обозначается k.

Выразив из (1.8) y, получим "уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"

у = х tgj + b или у= kх + b. (1.9)

Если b=0, то прямая проходит через начало координат. Если k = 0, то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b. Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N(x₀,y₀) (рис. 1.5 б), то

k = tg j =

или

y – y₀ = k(x – x₀) (1.10)

Уравнение (1.10) называется "уравнение прямой, проходящей через данную точку". Если даны координаты двух точек N(x₀,y₀) и M(x₁,y₁), через которые проходит прямая, то

и уравнение

(1.11)

называется "уравнение прямой, проходящей через две данные точки"

Угол α между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k₁=tg(φ₁) и k₂= tg(φ₂) (рис 1.6). Так как α = φ₂ – φ₁, то по формулам тригонометрии

(1.12)

Условие параллельности прямых: k₁=k₂;

Условие перпендикулярности прямых 1= - k₁ k₂.

Любое из уравнений прямой можно привести к виду Ах + By + С = 0. Например, для уравнения (1.9) A =k, B = -1, C = b, т.е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени. Если В 0, то уравнение

Ах + By + С = 0

можно привести к виду (1.9)

, k = , b = .

Если А = 0, то у = (рис. 1.7 а).

Если В = 0, то получим уравнение Ах + С = 0 или x = - . Это уравнение определяет прямую параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке х = а (а = - ) (рис. 1.7.б).

Уравнение

Ах + Ву + С = 0. (1.13)

описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.

Если даны координаты концов отрезка А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), то координаты середины отрезка тоски С (х₃, у₃) находятся по формуле

(1.14)

Пример. Даны две вершины треугольника А(-3,-3) и С(5,1); его биссектрисы пересекаются в точке N(2,2). Найти координаты вершины В и уравнение медианы, проведенной из этой вершины.

Решение. Для нахождения дополнительных точек на сторонах АВ и ВС будем использовать геометрическое свойство биссектрис AN и CN.

1. Составляем уравнение биссектрис AN и CN:

уравнение AN : или ,

уравнение CN: или .

2. Далее рассуждаем так: AN – биссектриса угла А, поэтому на стороне АВ должна лежать точка С₁, симметричная точке С относительно AN. Аналогично на стороне ВС должна найтись точка А₁, симметричная точке A относительно биссектрисы CN. Найдем точки С₁ и А₁.

Составляем уравнение перпендикуляра CF, опущенного из вершины С на биссектрису А N :

, где .

Следовательно, уравнение CF: .

Рис. 1.8.

Находим координаты точки F пересечения AN и перпендикуляра CF, решая систему

откуда F(3,3).

Определяем координаты точки С₁, учитывая, что отрезок С₁С в точке F делится пополам и, следовательно,

или С₁(1,5).

Поступая аналогично, находим точку А₁(1,9).

Составляем уравнения сторон АВ и ВС, соответственно,

Или

и .

Находим координаты вершины В, решая систему

из которой следует, что В(2,7).

5. Составляем уравнение медианы ВЕ, предварительно найдя координаты точки Е - середины стороны АС. Имеем

Уравнение ВЕ:

или .

Кривые второго порядка.

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени

Ax² + B xy + C y² + Dx + Ey + F = 0, (1.15)

причем хотя бы один из коэффициентов А, B, С должен быть не равен нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M(а,b) имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = R² . (1.16)

Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (1.16) получается из уравнения (1.15), если

A = C = 1, B=0, D =-2a, E = -2b, F = - R²+ a²+ b² .

Пример. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Попробуем привести данное уравнение к виду (1.16). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

x² + y²- 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0

или

(x - 2)² + y² = 2^2. (1.17)

Сравнивая (1.16) с (1.17), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом R =2 и с центром в точке M(2,0).

Эллипс - замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁и F₂, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (т.е. одинакова) и равна, по определению, 2а (а>0).

Для эллипса, представленного на рис.1.9, сумма расстояний MF₁ и MF₂ равна сумме расстояний NF₁ и NF₂, т. е.

MF₁+ MF₂= NF₁+ NF₂= 2а,

причем

Уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы F₁(с,0) и F₂ (-с,0) лежат на оси ОХ симметрично относительно оси OY называется каноническим

. (1.18)

Параметры a и b называются полуосями эллипса (величины 2а и 2b называются осями), причем

a²= b²+c².

Отношение называется эксцентриситетом, эксцентриситет эллипса меньше единицы е < 1.

Уравнение (1.18) получим из (1.16) если

B = D = E = 0, , F=-1.

Очевидно, что окружность - частный случай эллипса, у которого a = b = R, а центр находится в начале координат.

Гипербола – неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равна 2а (рис. 1.10).

Разность

MF₂ – MF₁ = NF₁ – NF₂ = 2а.

где

Каноническое уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает с началом координат, а фокусы F₁и F₂ лежат на оси OX симметрично оси OY

. (1.19)

Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы, причем

c²=b²+a².

Эксцентриситет гиперболы больше единицы e > 1.

Уравнение (1.19) получим из (1.15) если

B = D = E = 0, , F=-1.

Особенность гиперболы – наличие асимптот - прямых к которым неограниченно приближается кривая при . Уравнения асимптот

Парабола - неограниченная кривая, все точки которой (рис. 2.12) равноудалены от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р.

Для параболы изображенной на рис.1.11 расстояния MK = MF , NF = NL и DO =OF. Каноническое уравнение параболы, фокус которой F( ,0) лежит на оси ОХ, а директриса х = перпендикулярна ОХ, есть

y² = 2px, (1.20)

Уравнение (1.20) получим из (1.15) если

A = B = E = F = 0, C = 1, D = -2p.

Ось такой параболы совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат.

Сделав поворот и сдвиг системы координат любое уравнение (1.15) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (1.18), (1.19), (1.20) или к уравнению вида

а²х²= b²y²,

которому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай окружность), гиперболу или параболу. Важным свойством линий второго порядка является то, что все они могут быть получены (см. рис. 1.12) как сечения конуса плоскостью, пересекающего его под различными углами.

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x₀, y₀) (случай В).

А В