Витяг з навчальної програми з математики для 1-4 класів

Характеристика змісту навчання

Одним із завдань навчання математики є формування в учнів здатності розпізнавати практичні проблеми, які можна розв’язати із застосуванням математичних методів. У зв’язку з цим особливо значуща роль відведена змістовій лінії «Сюжетні задачі».

Сюжетні задачі виступають важливим засобом ілюстрації і конкретизації навчального матеріалу; розвитку пізнавальних процесів, оволодіння прийомами розумової діяльності; виховання вольових якостей, естетичних почуттів; розвитку вміння будувати судження, робити висновки; формування в учнів мотивації їхньої навчальної діяльності, інтересу та здатності до цієї діяльності. Сюжетні задачі, особливо практично зорієнтовані, забезпечують зв’язок математики із реальним життям дитини, виявлення учнем своєї компетентності. Уміння розв’язувати задачі є показником навченості й научуваності, здатності до самостійної навчальної діяльності.

Метою цієї змістової лінії є формування в учнів загального уміння працювати із задачею, умінь розв’язувати задачі певних типів.

У 1-му і 2-му класах формують поняття про задачу (просту або складену), її структурні елементи, сутність процесу розв’язування. Основним завданням є набуття учнями загального уміння розв’язувати сюжетні задачі. Починаючи з 3-го класу, розглядаються типові задачі; головним завданням виступає формування в учнів уміння розв’язувати задачі певних типів. У 3-му і 4-му класах вдосконалюють загальне уміння розв’язувати задачі.

З огляду на методичну доцільність, задачі на знаходження суми трьох доданків розглядаються у межах підрозділу «Прості задачі». Запис їх розв’язання виразом є простішим для учнів, ніж розв’язання двома діями. Крім цього, такі задачі у подальшому широко застосовуються для підготовки учнів до роботи із задачами на розкриття суті множення.

Сюжетні задачі подають з поступовим підвищенням складності. Розглядають також задачі з буквеними даними та геометричним змістом.

Уявлення про процес розв’язування задачі формується як перехід від текстової моделі (текст задачі) до схематичної (короткий запис, схематичний рисунок), а далі – до математичної (вираз, рівняння). Процес розв’язування задачі передбачає аналіз її умови, подання результатів цього аналізу у вигляді допоміжної моделі – короткого запису (схематично, таблицею, кресленням), схематичного рисунка тощо; пошук шляхів і складання плану розв’язування задачі, створення математичної моделі задачі. Під час розв’язування простих задач акцент ставиться на обґрунтуванні вибору арифметичної дії, необхідної для відповіді на запитання задачі; під час розв’язування складених – на аналітичних або синтетичних міркуваннях щодо пошуку плану розв’язування.

При роботі над задачею бажаною є перевірка правильності її розв’язку. Така перевірка може бути прямою (встановлення відповідності між числами, отриманими в результаті розв’язування, і даними в умові задачі, попередній прикидці майбутнього результату) і непрямою (складання і розв’язування оберненої задачі або розв’язування задачі іншим способом).

Для розв’язування сюжетних задач переважно обирається арифметичний спосіб; алгебраїчний – вводиться лише з метою ознайомлення. Розв’язування задачі арифметичним способом записують діями з поясненням до кожної із них або за допомогою виразу. Цим забезпечується єдність виконання розумових дій аналізу і синтезу.

У початковому курсі математики в учнів формують простіші вміння працювати з інформацією – змістова лінія «Робота з даними». Основне завдання цієї змістової лінії – ознайомити молодших школярів на практичному рівні зі способами подання інформації; вчити читати і розуміти, знаходити, аналізувати, порівнювати інформацію, подану в різний спосіб, використовувати дані для розв’язування практично зорієнтованих задач.

Навчальний матеріал цієї змістової лінії дозволяє формувати в молодших школярів первинні уявлення про деякі способи обробки даних спостережень за навколишнім світом.Матеріал поданий наскрізно у вигляді основних понять і фактів,які формуються шляхом розгляду конкретних ситуацій і використання міжпредметної змістової інформації; способів добору, упорядкування, інтерпретації даних;моделювання описаних ситуацій у формі таблиць, схем, діаграм.

Клас

Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
Сюжетні задачі (протягом року)
Поняття «задача» Поняття задачі. Структурні елементи задачі. Зв'язок умови і запитання.	Учень (учениця): знає структурні елементи задачі – умова і запитання; числові дані та шукане; розуміє, що в умові задачі містяться числові дані, а запитання вказує на шукане; визначає числові дані, необхідні і достатні для відповіді на запитання задачі
Прості задачі Прості задачі на знаходження суми, різниці двох чисел; збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, різницеве порівняння; знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від’ємника. Задачі, які містять вивчені величини. Обернена задача (ознайомлення).	знає слова-ознаки окремих відношень (збільшення, зменшення, різницевого порівняння); знає порядок роботи над задачею, зміст окремих її етапів; упорядковує під керівництвом учителя запис розв’язування задачі: числові дані, знак запитання; рівність; коротка відповідь; розв’язує прості задачі на знаходження суми, різниці двох чисел; збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, різницеве порівняння; знаходження невідомого доданка, зменшуваного, від’ємника; складає задачі за рисунками, схемами, виразом
Загальні прийоми розв’язування задач Процес розв’язування задачі: ознайомлення з текстом задачі, виділення з нього умови та запитання, числових даних і шуканого, об’єкту (об’єктів) задачі, моделювання описаної ситуації за допомогою схематичних рисунків, добір і обґрунтування арифметичної дії для розв’язування задачі, запис розв’язання, формулювання та запис відповіді задачі.	читає задачу з відповідною інтонацією (робить паузу між умовою і запитанням); виділяє умову і запитання, об’єкт або об’єкти, числові дані й шукане; моделює під керівництвом учителя описану в задачі ситуацію за допомогою схематичних рисунків; обґрунтовує вибір арифметичної дії для розв’язування задачі; записує розв’язання задачі; формулює усно повну відповідь на запитання задачі.

Клас

Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
Сюжетні задачі (протягом року)
Узагальнення і систематизація навчального матеріалу за 1-й клас Аналіз тексту задачі. Сутність процесу розв’язування задачі. Прості задачі. Структурна форма запису. Обернені задачі. Підготовча робота до розв’язування складеної задачі.	Учень (учениця): аналізує текст задачі; упорядковує запис задачі: короткий запис і/або схема; розв’язання арифметичними діями з поясненням або виразом; повна відповідь; розв’язує прості задачі вивчених видів; складає і розв’язує обернені задачі до простих; перевіряє різними способамиправильність розв’язання задачі
Прості задачі Задачі на знаходження третього числа за сумою двох інших; на знаходження суми трьох доданків; на розкриття змісту множення, ділення, на збільшення або зменшення числа в кілька разів, на кратне порівняння чисел. Розв’язування задач на знаходження суми трьох доданків виразом Задачі на збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, сформульовані у непрямій формі.	розуміє, що один і той самий вираз може бути математичною моделлю безлічі сюжетів задач; розв’язує задачі на знаходження третього числа за сумою двох інших, на знаходження суми трьох доданків, на розкриття суті множення, ділення, на збільшення або зменшення числа в кілька разів, на кратне порівняння чисел; розв’язує задачі назбільшення та зменшення числа на кілька одиниць, сформульованих у непрямій формі; обґрунтовує вибір арифметичної дії, якою розв’язується задача;
Поняття складеної задачі Задачі із зайвими числовими даними або з недостачею даних Дві послідовні прості задачі, що пов’язані за змістом. Задачі з двома запитаннями. Ознайомлення зі складеною задачею як такою, яку не можна розв’язати однією арифметичною дією	розрізняє просту і складену задачу; обирає числові дані, достатні для знаходження відповіді на запитання задачі; розуміє, що для відповіді на запитання задачі може бракувати числових даних; розуміє, що не на кожне запитання задачі можна відповісти, виконавши одну арифметичну дію; аналізує текстскладеної задачі
Розв’язування складених задач Задачі на 2 дії (додавання і віднімання), які є комбінаціями простих задач вивчених видів. Задачі на 2-3 дії різних ступенів, які є комбінаціями простих задач вивчених видів. Розв’язування задач різними способами.	знає порядок роботи над складеною задачею; розв’язує складені задачі на 2-3 дії, які є комбінаціями простих задач вивчених видів; використовує різні способи розв’язування задачі
Задачі міжпредметного змісту на роботу з даними	розуміє інформацію з таблиць та лінійних діаграм
Загальні прийоми розв’язування задач Аналіз задачі. Допоміжна модель задачі: короткий запис, схематичний рисунок. Математична модель задачі. Відповідь на запитання задачі.	виконує аналіз змісту задачі – виділяє умову й запитання, числові дані й шукане, об’єкти, описані в умові задачі, ситуацію, яка описується; визначає слова-ознаки окремих відношень; моделює під керівництвом учителя описану в задачі ситуацію у вигляді короткого запису і/або за допомогою схематичних рисунків; обґрунтовує дію, за допомогою якої розв’язується проста задача; здійснює аналітичні міркування пошуку розв’язання складеної задачі, ілюструє їх схемою («деревом» міркувань); виділяє у складеній задачі прості, визначає порядок їх розв’язування; складає усно план розв’язування задачі; записує розв’язування задачі арифметичними діями з поясненням, виразом; записує повну відповідь на запитання задачі; складає задачі за рисунком, схемою, виразом

Клас

Год (4 години на тиждень)

Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
Величини (протягом року)
Трійки взаємопов’язаних величин Ознайомлення із трійками взаємопов’язаних величин, які знаходяться у пропорційній залежності: загальна довжина, довжина одного відрізка, кількість відрізків; загальна маса, маса одного предмета, кількість предметів; загальна місткість, місткість однієї посудини, кількість посудин; вартість, ціна, кількість; загальний виробіток, продуктивність праці, час роботи. Взаємозв’язок між величинами кожної трійки. Залежність однієї величини від зміни іншої при сталій третій.	знає трійки взаємопов’язаних величин; розуміє пропорційну залежність між величинами певної трійки (без використання відповідних термінів); виділяє у тексті задачі взаємопов’язані величини; застосовує правило знаходження певної величини під час розв’язування задач; розуміє характер зміни однієї величини залежно від зміни іншої при сталій третій і застосовує цю залежність у знаходженні відповіді на запитання задачі, а також у прикидці очікуваного результату
Сюжетні задачі (протягом року)
Прості та складені задачі вивчених видів Розв’язування складених задач на 2–4 дії, які є комбінацією вивчених видів простих задач (дії першого та другого ступенів). Складання і розв’язування обернених задач (простих та складених).	Учень (учениця) розв’язує прості та складені задачі вивчених видів на множині чисел у межах 1000; складає і розв’язує обернені задачі
Прості задачі Задачі на знаходження частини від числа та числа за значенням його частини. Прості задачі, що містять трійки взаємопов’язаних величин. Прості задачі на визначення часу початку події, тривалості події, часу закінчення події.	розв’язує прості задачі нових видів: на знаходження частини від числа та числа за значенням його частини; розв’язує задачі, що містять трійки взаємопов’язаних величин; розв’язує задачі на знаходження часу початку події, тривалості події, часу закінчення події
Складені задачі Складені задачі із взаємопов’язаними величинами. Задачі на знаходження суми, різницеве чи кратне порівняння двох добутків або часток. Обернені до них задачі. Задачі на знаходження четвертого пропорційного. Спосіб знаходження однакової величини (зведення до одиниці). Задачі на подвійне зведення до одиниці. Обернені до них задачі. Задачі на спільну роботу та обернені до них. Задачі на знаходження трьох чисел за їх сумою та сумами двох доданків. Задачі геометричного змісту. Задачі з буквеними даними. Розв’язування задач за допомогою рівнянь (ознайомлення)	розв’язує складені задачі із взаємопов’язаними величинами; розв’язує задачі на знаходження суми, різницеве чи кратне порівняння двох добутків або часток та обернені до них; розв’язує задачі на знаходження четвертого пропорційного; розв’язує задачі на подвійне зведення до одиниці; розв’язує задачі на спільну роботу; розв’язує задачі на знаходження трьох чисел за їх сумою та сумами двох доданків; розв’язує задачі геометричного змісту; розв’язує задачі з буквеними даними; розуміє, що задачі можнарозв’язувати за допомогою рівнянь
Задачі міжпредметного змісту на роботу з даними	розуміє і використовує у розв’язуванні практично зорієнтованих задач інформацію з таблиць та лінійних діаграм
Загальні прийоми розв’язування задач Аналіз задачі. Допоміжні моделі задачі (короткий запис – схематичний запис або таблиця, схематичний рисунок). Прикидка очікуваного результату. Математична модель задачі. Відповідь на запитання задачі. Творча робота над задачею	виконує аналіз змісту задачі; моделює описану в задачі ситуацію у вигляді короткого запису і/або за допомогою схематичних рисунків; аналізує умову задачі та обирає спосіб її розв’язування; складає план розв’язання задачі; прогнозує очікуваний результат; записує розв’язання задачі з поясненням; записує повну відповідь на запитання задачі; розв’язує задачі різними способами; складає прості і складені задачі;

Клас

140 год (4 години на тиждень)

Зміст навчального матеріалу	Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учня
Сюжетні задачі (протягом року)
Прості й складені задачі Складені задачі, які є комбінаціями вивчених видів простих задач на дії різних ступенів. Задачі, що містять знаходження дробу від числа, числа за значенням його дробу. Прості та складені задачі на встановлення залежності між швидкістю, часом і шляхом при рівномірному прямолінійному русі. Прості задачі на обчислення тривалості події, дати її початку, дати закінчення події.	Учень (учениця): розв’язує прості задачі вивчених видів; розв’язує складені задачі на 2–4 дії (на знаходження суми, різницеве і кратне порівняння двох добутків або часток та обернені до них); розв’язує сюжетні задачі на знаходження дробу від числа та числа за значенням його дробу; розв’язує задачі на прямолінійний рівномірний рух; розв’язує прості задачі на обчислення тривалості події, дати початку події, дати закінчення події
Типові сюжетні задачі Задачі на знаходження четвертого пропорційного. Задачі на подвійне зведення до одиниці. Задачі на пропорційне ділення. Задачі на знаходження невідомих за двома різницями. Задачі на спільну роботу. Задачі, на рівномірний прямолінійний рух двох тіл в одному та в різних напрямках.	розпізнає типові задачі за їх ознаками; розв’язує задачі різними способами: знаходженням однакової величини; способом відношень; розуміє особливості прямолінійного руху двох тіл в одному напрямку, назустріч та у протилежних напрямках; моделює прямолінійний рух двох тіл; прогнозує результати зміни відстані між тілами за одиницю часу; розуміє сутність способів розв’язування задач на знаходження відстані, швидкості та часу при русі двох тіл в одному та в різних напрямках; розв’язує задачі, в яких описуються процеси спільної праці, одночасного руху в різних напрямках і в одному напрямку
Задачі з буквеними даними.	розв’язує задачі з буквеними даними способом складання виразу
Задачі міжпредметного змісту на роботу з даними	розуміє і використовує у навчальних і життєвих ситуаціях інформацію з таблиць та лінійних діаграм; упорядковує дані описаних подій
Загальні прийоми розв’язування задач Аналіз змісту задачі. Складання допоміжної моделі задачі: короткого запису (схема, таблиця, креслення), схематичного рисунка. Прикидка очікуваного результату. Пошук розв’язувальної моделі задачі. Математична модель задачі. Відповідь на запитання задачі. Перевірка правильності розв’язання: пряма й непряма. Дослідження задачі, творча робота над задачею	здійснює аналіз змісту задачі; використовує схематичні рисунки, різні варіанти короткого запису задач (схеми, таблиці, креслення); виконує аналітичні, синтетичні міркування у процесі розв’язування задачі; моделює описану в задачі ситуацію для спрощення пошуку розв’язку задачі; прогнозує очікуваний результат; розпізнає типову задачу та актуалізує спосіб її розв’язання; планує послідовність розв’язуваннязадачі; використовує різні форми запису розв’язання задачі (по діях, виразом або рівнянням); розв’язує задачі різними способами; перевіряє правильність розв’язку задачі різними способами (складанням і розв’язанням обернених задач, розв’язанням іншим способом, на основі відповідності одержаного результату прикидці); складає задачі за виразом.

Питання для узагальнення

– Які державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з тем «Таблиці, схеми, діаграми», «Задачі. Структура задачі. Загальні прийоми роботи над задачею», «Прості і складені задачі» у 1 (2, 3, 4) класі?

2. Поняття функції. Способи задання функцій

Означення. Функція – це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення у.

y = f (x)

y = x + 25

Змінну х називають незалежною змінною (аргументом), а змінну у – залежною змінною (функцією). Говорять також, що у є функцією від х.

f, g, h... – функції

Означення. Область визначення функції (D ( y)) – множина значень, яких набуває незалежна змінна х.

, D ( y) = R, крім 3.

Означення. Область значень функції ( E ( y)) – множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х.

Означення. Числова функція – це функція, в якої область визначення і множина значень є числові множини.

Способи задан ня функції:

Аналітичний (за допомогою формулою). Н.: .

Аналітичний спосіб означає задання функції формулою, що показує кількість і послідовність операцій над аргументом х, які необхідні для того, щоб дістати значення цієї функції. Якщо при цьому не зазначається область визначення функції, то під останньою розуміють множину допустимих значень аргументу, тобто множину тих значень аргументу, для яких за формулою можна знайти відповідні значення функції.

2. Табличний (за допомогою таблиці)

Табличний спосіб задання функції полягає в написанні таблиці відповідних значень аргументу та функції. Цей спосіб задання функції часто застосовують в експериментальних дослідженнях, а також у математиці: таблиці квадратів і кубів чисел, таблиці значень тригонометричних функцій та ін.

Н.:

х	1	2	3	4
у	1	4	9	16

Словесний (переліком пар).
Графічний (за допомогою графіка).

Графік функції – це зображення на координатній площині множини упорядкованих пар. Прямі Ох і Оу взаємно перпендикулярні, О – точка перетину цих прямих і початок координат. Ох – вісь абсцис, Оу – вісь ординат.

Означення. Графіком функції , називають множину точок координатної площини, де , а

Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що вихідною інформацією про цю функцію є її графік. При цьому для довільного значення х з області визначення Х можна знайти відповідне значення у функції. Прикладом графічного способу задання функції є електрокардіограми, за якими медики аналізують роботу серця.

У математиці графічне зображення функцій використовують і тоді, коли функція задана аналітичним чи табличним способом. Якщо треба з’ясувати загальний характер поведінки функції та її особливості на деяких підмножинах області визначення, графік, завдяки його наочності є дуже корисним.

Найчастіше графіком функції є деяка лінія координатної площини. Проте не кожна лінія є графіком функції. Справа в тому, що при заданому значенні аргументу х існує лише одне відповідне йому значення функції у. Тому на кожній прямій, паралельній осі ординат, може лежати не більше однієї точки графіка функції.

Наприклад, лінія, зображена нижче не є графіком функції.

Отже, якщо кожному елементу х числової множини Х за правилом f відповідає єдине число у, то говорять, що на множині Х задано числову функцію f (х), і пишуть: . При цьому х називають аргументом, а у – значенням функції. Множину Х називають областю визначення функції, а множину значень, які функція набуває, - її множиною значень; останню позначають через f ( Х).

Для області визначення і множини значень функції f застосовують також відповідно позначення і .

Функцію f (х) можна вважати заданою, якщо задано її область визначення Х і правило f , за яким для довільного х з області визначення Х можна знайти (обчислити) відповідне йому значення у, у = f (х).

Питання для узагальнення

– Що називається функцією?

– Що таке графік функції?

– Які існують способи задання функції?

3. Лінійна функція, її графік

Означення. Лінійною називається функція, яку можна задати формулою y = kx + b, де х – аргумент, k і b – дані числа.

Графіком цієї функції є пряма.

Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок.

Властивості:

1. Область визначення: D ( y) = R.

2. Якщо k > 0 – функція зростає, якщо k < 0 – функція спадає.

3. При k 0, b 0 – лінійна функція не є ні парною, ні непарною.

4. b – ордината точки перетину графіка з віссю Оу.

k > 0

k < 0

Наприклад. Задано функцію . Яка це функція? Знайти її область визначення. Чи є вона зростаючою на якій-небудь множині?

Розв’язання. Оскільки , то задану функцію можна записати у вигляді: ; .

Отже, задана функція є лінійною. Її областю визначення як лінійної функції є множина R. Оскільки ця функція спадна на R, то вона не може бути зростаючою на будь-якій множині Р.

Питання для узагальнення

– Яка функція називається лінійною?

– Що є графіком лінійної функції?

– Які властивості має лінійна функція?

Рухлива фізкультхвилинка

4. Пряма пропорційність, її властивості і графік

Означення. Лінійну функцію, що задається формулою y = kx, де k 0 називають прямою пропорційністю. Число k у формулі називають коефіцієнтом пропорційності.

Графіком є пряма, що проходить через початок координат. Якщо k > 0, графік лежить у І і ІІІ координатних чвертях, якщо k < 0, то графік лежить у ІІ і ІV чвертях.

Прямопропорційні залежності: якщо значення змінної х зростають, то зростають і значення змінної у.

Приклад S = V · t , t – const, V – збільшується і S – збільшується.

Пряма пропорційність – це окремий випадок лінійної функції при , а . Тому справедливі такі твердження:

Областю визначення прямої пропорційності є множина R.
Пряма пропорційність з додатним (від’ємним) коефіцієнтом пропорційності є зростаючою (спадною) функцією на всій області визначення.
Графіком прямої пропорційності є пряма з кутовим коефіцієнтом, що дорівнює коефіцієнту пропорційності, і початковою ординатою, що дорівнює нулю.

k > 0

На рис. зображено графіки прямої пр

k < 0

опорційності для

4. Для прямої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу, що існує, дорівнює відношенню відповідних значень функції: .

Для прямої пропорційності з додатним коефіцієнтом із збільшенням (зменшенням) значення аргументу в кілька разів відбувається збільшення (зменшення) значення функції у стільки ж разів.

Наприклад. Точка (2; 4) належить графіку прямої пропорційності. Записати формулу цієї залежності.

Розв’язання. Згідно з означенням прямої пропорційності, шукана формула має вигляд , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки точка (2; 4) належить графіку розглядуваної функції, то , звідки .

Отже, шуканою формулою є .

Питання для узагальнення

– Яка функція називається прямою пропорційністю?

– Що є графіком прямої пропорційності?

– Які властивості має пряма пропорційність?

5. Обернена пропорційність, її властивості і графік

Означення. Оберненою пропорційністю називається функція виду , де k – деяке число, що не дорівнює нулю.

Число k у формулі називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Областю визначення оберненої пропорційності є множина R \ {0}.

Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. На рис. зображено графіки оберненої пропорційності для .

k < 0

k > 0

Для оберненої пропорційності відношення двох довільних значень аргументу дорівнює оберненому відношенню відповідних значень функції: .

Для оберненої пропорційності з додатним коефіцієнтом збільшенню (зменшенню) аргументу в кілька разів відповідає зменшення (збільшення) значення функції у стільки ж разів.

Наприклад. Знайти формулу оберненої пропорційності, якщо при значенні аргументу х = 2 функція набуває значення у = – 2.

Розв’язання. За означенням оберненої пропорційності шуканою формулою є , де k – деяке число, відмінне від нуля. Оскільки за умовою х = 2 і у = – 2 задовольняють цю формулу, то маємо . Звідси .

Отже, шуканою формулою є .

Отже,функція задана формулою , де х – незалежна змінна, k 0 – дане число називається обернена пропорційність.

Графіком є гіпербола, яка складається з двох віток. Якщо k > 0, то вітки гіперболи лежать у І і ІІІ чвертях, якщо k < 0, то у ІІ і ІV чвертях.

Властивості:

1. Область визначення: D ( y) = R, крім 0.

2. Область значень: Е ( y) = R, крім 0.

3. Якщо k > 0 – функція спадає, якщо k < 0 – функція зростає.

4. Функція непарна.

Приклад: , S – const, t – зменшується, V – збільшується.

Питання для узагальнення

– Яка функція називається оберненою пропорційністю?

– Що є графіком оберненої пропорційності?

– Які властивості має обернена пропорційність?

– При якій умові функція зростає (спадає)?

6. Функціональна пропедевтика в початковій школі

Поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.

В початковій школі формуються початкові уявлення про функціональну залежність, хоч можливості досить обмежені, але вчитель повинен їх використовувати.

І етап

Одні з найпростіших видів функціональної залежності є пряма і обернена пропорційності.

Якщо є 3 величини а, b, с і відношення двох дорівнює третій, тобто , причому а (це третя величина) стала, то перші дві величини змінюються прямо пропорційно.

Чим більша кількість, тим більше вартість при однаковій ціні.

Ціна =

Якщо ж одна з трьох величин дорівнює добутку двох інших, тобто , і її значення однакове (стале), то дві інші пов’язані обернено пропорційною залежністю.

Вартість = ціна · кількість

↓ ↓ ↓

стала = k у х

(однакова)

При сталій (однаковій) вартості чим більша кількість, тим менша ціна і навпаки.

У початковій школі учні отримують перші уявлення про ці залежності. І перш за все тому, що вони мають загальноосвітнє значення, зустрічаються в повсякденному житті дітей.

Приклади:

№	а	b	с
1)	Ціна товару	Кількість товару	Вартість товару
2)	Норма виробітку	Час роботи	Загальний виробіток
3)	Маса 1 предмета	Кількість предметів	Загальна маса
4)	Врожайність	Площа	Врожай
5)	Швидкість	Час	Відстань
6)	Витрати матеріалу на 1 виріб	Кількість виробів	Загальні витрати
7)	Продуктивність праці	Час	Загальний виробіток
8)	Місткість 1 посудини	Кількість посудин	Загальна місткість
9)	Заробіток за 1 годину	Час	Загальний заробіток

З величинами діти знайомляться через задачі.

Спочатку вчаться розв’язувати прості задачі з пропорційними величинами (після ознайомлення з діями ділення і множення).

Перші уявлення – при ознайомленні з конкретним смислом дії множення.

Наприклад:

Маса однієї посилки 3 кг. Яка маса 6 таких посилок?

Маса порося 18 кг. Яка маса 3-х поросят?

Банка вміщує 3 л соку. Скільки соку треба, щоб заповнити 4 таких банки?

На дитяче пальто витрачають 2 м драпу. Скільки таких пальт можна пошити з 6м драпу?

Перші задачі спочатку можна коротко записати «традиційно».

1 пос. – 3 кг

6 пос. – ?

А далі показати інший варіант в таблиці.

Маса 1 посилки	Кількість посилок	Загальна маса посилок
3 кг	6	?

Якщо важко вибрати дію, ілюструємо кресленням:

Далі звертається увага на зв'язок між величинами; як знаходити масу 1 предмета, кількість, загальну масу і т.д. Тобто встановлюється залежність між величинами і формулюються висновки.

Корисні вправи:

Ціна	Кількість	Вартість
2	6	?
3	?	18
?	4	20

Ціна	Кількість	Вартість
5	10	?
5	15	?
5	20	?
5	30	?

Аналогічно:

однакова кількість (4; 4; 4; 4)

однакова вартість (40; 40; 40; 40).

Кожний рядок – окрема задача.

Встановлюємо, про які величини йдеться в задачі. Які величини відомі?

Яку треба знайти? Як?

Далі аналізуємо:

Зростає кількість; зростає вартість (ціна стала).
У скільки разів зростає кількість, у стільки разів зростає вартість.

У цій роботі потрібна система.

ІІ етап

Задачі на знаходження четвертого пропорційного.

Наприклад. Маса 6 однакових посилок 18 кг. Яка маса чотирьох таких самих посилок?

Умову доцільно подати в таблиці (складати разом).

– Про які величини йде мова?

– Про які відомо?

(про одну – 2 даних

про другу – 1 дане

третя – однакова)

Маса 1 посилки	Кількість	Загальна маса
Однакова	6 4	18 кг ?

Задачі на четверте пропорційне називають задачами на потрійне правило.

Є три величини: відомо 2 значення – однієї; 1 значення другої величини, а друге – треба знайти; значення третьої величини – стале.

Потрійне правило прийшло в Європу з Індії через посередництво Хорезмі і Леонардо Фібоначчі, а з Європи до нас. Його довго вважали самим корисним в комерції і життєвій праці. Це «ключ купців» – так його називали. При вивченні арифметики (до ІХ ст.) його заучували догматично: «перемнож 2 останні, діли на першу».

На знаходження трьох величин за даним сюжетом можна скласти 12 задач на знаходження четвертого пропорційного.

	Ціна а	Кількість b	Вартість с
Пряме зведення до 1	Однакова		- ?
Пряме зведення до 1	Однакова		- ?
Обернене зведення до 1	Однакова	- ?
Обернене зведення до 1	Однакова	- ?

Аналогічно 4 задачі при однаковій кількості. Це 8 задач з прямою пропорційності.

Ще 4 задачі при однаковій вартості.

Три прийоми розв’язування задач на знаходження четвертого пропорційного:

1. Спосіб прямого зведення до 1

2. Спосіб оберненого зведення до 1

3. Спосіб відношення

Всі вони вивчаються в початковій школі.

Отже, поняття функції є одним із фундаментальних математичних понять. Велика увага його формуванню надається в курсі математики середньої школи.

III. Заключна частина

Загальний висновок

Така залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, називається функціональною залежністю, або функцією. Змінну x називають аргументом даної функції, чи незалежною змінною. Змінну y називають функцією від x, чи залежною змінною.

Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у=f(x), де f(x) – вираз, що містить змінну х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.

На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі приводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних у таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця температур.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 82; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!