Определение степени с действительным показателем.
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
15.11.2021
Степень с рациональным и действительным показателем
Мы уже знакомы со степенями с натуральным показателем. Это числа вида: 23, 62 и т.д. А что такое степени с рациональным и действительным показателем? Что у них общего и в чем их отличие от степеней с натуральным показателем?
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие степени;
2) определение степени с рациональным и действительным показателем;
3) нахождения значения степени с действительным показателем.
Глоссарий по теме
Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство:
.
При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что
При выражение не имеет смысла.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Пример: вычислим
Мы можем представить , тогда
Таким образом, мы можем записать
или
На основании данного примера можно сделать вывод:
Если n- натуральное число, , m- целое число и частное является целым числом, то при 0 справедливо равенство:
.
Напомним, что r-рациональное число вида , где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.
|
|
Если , то выражение имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, Поэтому считают, что при r 0 выполняется равенство
Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Рассмотрим несколько примеров:
1.
2.
Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 0 ы следующие равенства:
1. ;
2. ;
3.
4.
5.
Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:
1. Вычислим:
1. Упростить выражение:
В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:
А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .
Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :
Эта последовательность стремится к числу , т.е.
Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность
Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .
|
|
Определение степени с действительным показателем.
При любом действительном х и любом положительном а ) степень является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что
При выражение не имеет смысла.
Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.
Теорема. Пусть и . Тогда .
Доказательство:
По условию . Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂) . Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим . По свойству умножения степеней получаем: , т.е. .
Из данной теоремы вытекают три следствия:
1. Пусть Тогда
2. Пусть и
.
1. Пусть и
.
Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!