Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
02.11.2021
Алгебра
Тема: «Квадратный трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители»
Цель: познакомить с квадратным трехчленом, корнями квадратного трехчлена, разложением квадратного трехчлена на множители и применение этого разложения при упрощении выражения.
Объяснение нового материала.
2. Закрепление нового материала:
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 − 2x − 1
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x2 − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Внесем множитель 3 во вторую скобку, так как там дробный корень, получим
3x2-2x-1=(x-1)(3x+1).
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3 − 11x + 6x2
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
6x2 − 11x + 3
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
=2(x - 
) 
3(x- 
=(2x-3)(3x-1).
Число 6 разложили на 2 множителя – 2 и 3, и 2 внесли в первую скобку, а 3 во вторую.
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3x2 + 7x − 6
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Тройку внесли в скобку x - 
и получили 3x-2.
Необходимо сократить дробь 
.
Мы имеем трёхчлен в числителе и двучлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.
В первую очередь необходимо разложить на множители числитель 
.
Дальше разложим трёхчлен на множители 
, т. е. для решения нам необходимы корни 
, для этого нам необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:
Для решения используем теорему Виета:
В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что 
, и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: 
, т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.
Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного 
в систему уравнений, к примеру, 
, т.е. 
.
Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:
Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь 
.
Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя 
.
, необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. 
, 
.
Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида 
.
Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
1. Приравнять квадратный трехчлен к нулю. Получим квадратное уравнение.
2. Решим квадратное уравнение, найдем два корня.
3. Подставим корни в формулу
Задание на дом.
Прочитать учебник стр. 22-30, изучить конспект.
Решить:
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!