Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Тема урока : «Степень с рациональным и действительным показателем. Тестовая самостоятельная работа»
Теоретический материал
Пример: вычислим 
Мы можем представить 
, тогда
Таким образом, мы можем записать
или 
На основании данного примера можно сделать вывод:
Если n- натуральное число, 
, m- целое число и частное 
является целым числом, то при 
0 справедливо равенство:
.
Напомним, что r-рациональное число вида , где m- целое число , n- натуральное число. Тогда по нашей формуле получим:
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.
Если 
, то выражение 
имеет смысл не только при 0, но и при а=0, причем, 
Поэтому считают, что при r 
0 выполняется равенство 
Пользуясь формулой степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Рассмотрим несколько примеров:
1. 
2. 
Отметим, что все свойства степени с натуральным показателем, которые мы с вами повторили, верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, а именно, для любых рациональных чисел p и q и любых 0 и 
0 ы следующие равенства:
1. 
;
2. 
;
3. 
4. 
5. 
Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:
1. Вычислим: 
1. Упростить выражение:
В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:
|
|
|
А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере 
.
Пусть 
последовательность десятичных приближений с недостатком 
:
Эта последовательность стремится к числу , т.е. 
Числа являются рациональными, и для них определены степени 
т.е. определена последовательность 
Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. 
.
Определение степени с действительным показателем.
При любом действительном х 
и любом положительном а 
) степень 
является положительным числом:
Но если основание степени а=0, то степень 
определяют только при 
и считают, что 
При 
выражение не имеет смысла.
Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.
Теорема. Пусть 
и 
. Тогда 
.
Доказательство:
По условию 
. Поэтому, по свойству 1 имеем
а^(х₂) 
. Умножив обе части этого равенства на положительное число 
, получим 
. По свойству умножения степеней получаем: 
, т.е. .
Из данной теоремы вытекают три следствия:
1. Пусть 
Тогда 
2. Пусть 
и 
.
1. Пусть 
и 
.
Эти теорема и следствия помогают при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел.
|
|
|
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Сравнить числа 
Сравним показатели 
Т.к. 
, 
и 12 < 18, то 
.
Поэтому по теореме 
Пример 2. Решим уравнение
.
Поэтому уравнение можно записать так:
Получим, 
, разделим на 2 обе части уравнения.
Следовательно, 
Пример 3. Сравнить числа 
Избавимся от корней, для это возведем оба числа в шестую степень, т.к. шесть делится - наименьшее общее кратное двух и трех:
Т.к. 0<8<9 и 
, то 
, т.е. 
.
Пример 4.
Представить в виде степени с рациональным показателем:
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Пример 5
Представить в виде корня из степени с целым показателем:
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Пример 6
Вычислить:
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: 
Ответ: не имеет смысла.
№57 вычислить. 2) 
, 4) 
, 6) 
№58 вычислить. 1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
.
Записываем число, классная работа, тема урока
№59(2,4)
Вычислить:
2) 
, 4) 
.
№62(2,4,6).
Представить в виде степени с рациональным показателем:
2) 
4) 
6) 
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 228; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!