УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Гидродинамика – раздел гидравлики, изучающий движение жидкости под действием внешних сил и механическое взаимодействие между жидкостью и соприкасающимися с ней телами при их относительном движении.
Дифференциальные уравнения движения и баланса энергии идеальной жидкости
Вывод основных законов движения реальной жидкости чрезвычайно сложен, поэтому в гидродинамике пользуются ее моделью – идеальной жидкостью.
Идеальная жидкость – жидкость, лишенная вязкости. В ней при движении не возникают силы внутреннего трения и, как следствие, отсутствует рассеивание энергии. Т.о., запас энергии в элементарной струйке по длине потока жидкости постоянен.
В движущейся жидкости кроме объемных (массовых – сил тяжести) и поверхностных сил действуют силы инерции. В соответствии с принципом Германа – Эйлера – Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы сумма всех действующих на систему сил уравновешивается силами инерции.
Тогда уравнение движения единицы массы жидкости представит собой сумму проекций массовых (сил тяжести) и поверхностных сил ( 
) и проекций сил инерции (с обратным знаком), отнесенных к единице массы ( 
)
Подставим в эти уравнения величины (см. кинематику жидкости)
и учитывая, что при установившемся движении
получим уравнения движения Эйлера:
Для получения уравнения энергии необходимо найти работу сил при перемещении единицы массы жидкости на расстояние dl по линии тока.
|
|
|
Умножив все члены первого уравнения системы (уравнений Эйлера) на массу m и на проекцию dl на ось x, получим дифференциальное уравнение энергии в проекциях на ось х:
Учитывая, что проекция перемещения 
Т.к.
получим
Тогда для оси х уравнение можно представить в виде
Аналогично для других осей
Сложив почленно все три уравнения, получим выражение для полной энергии
Т.к. во втором слагаемом выражение в скобках является полным дифференциалом давления, окончательно уравнение энергии примет вид:
Все члены последнего уравнения имеют размерность энергии (в системе СИ – Дж).
Полный запас энергии относят к единице массы, объема или силы тяжести.
Энергия, отнесенная к единице массы m – удельная энергия. Уравнение удельной энергии:
Размерность всех членов уравнения в системе СИ – Дж/кг или м2/с2.
Энергия, отнесенная к объему V – полное давление. Уравнение полного давления (учитывая, что 
):
Размерность всех членов уравнения в системе СИ – Дж/м3 = Н/м2 = Па.
Наиболее важная в гидравлике энергия, отнесенная к единице силы тяжести mg– полный напор. Уравнение полного напора:
|
|
|
Размерность всех членов уравнения в системе СИ – Дж/Н = м.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим установившееся движение элементарной струйки идеальной жидкости в системе координат xyz. Допустим, что из всех массовых сил действуют только силы тяжести, проекции которых на оси координат:
X = 0, Y = 0, Z = -g.
Плоскость x0y называется плоскостью сравнения потенциальной энергии. С учетом принятых условий последние уранения примут вид:
Интегрируя уравнения для струйной модели жидкости с постоянной плотностью, получим уравнения:
Полной удельной энергии
Полного давления
Полного напора
Эти выражения называются уравнениями Бернулли. Они являются основными при решении многих задач гидравлики и представляют собой математическую модель закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки невязкой, несжимаемой жидкости относительно принятой плоскости сравнения.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!