Проекция вектора на ось. Свойства проекций
Тема 1.4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
План лекции
1.Понятие векторов и операции над ними.
2. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
3. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
4. Разложение вектора по ортам в пространстве R3 .
5. Действия с векторами, заданными своими координатами
8. Простейшие задачи аналитической геометрии (длина вектора, расстояние между двумя точками в пространстве, угол между двумя векторами, направление вектора, деление отрезка в заданном отношении).
9. Векторное произведение двух векторов.
8. Смешанное произведение трех векторов.
Понятие векторов и операции над ними.
Определение. Отрезок, имеющий заданные длину и направление в пространстве называется вектором.
A
O
Определение.Два вектора считаются равными, если выполнены условия:
а) длины векторов равны;
б) векторы коллинеарны, (т. е. расположены на одной прямой или на параллельных прямых);
в) векторы имеют одинаковое направление.
Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами, мы получим уже другой вектор, направленный противоположно исходному.
А О
О А
|
|
|
Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получаем вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любой точке пространства. Вектор с началом в точке O и концом в точке M обозначим символом 
или 
. Длину вектора обозначим | | или | 
|. Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым вектором.
Определение. Два вектора, 
, имеющие равные длины, но противоположно направленные, называются противоположными векторами. Сумма их равна нулевому вектору.
B O 
Вектор противоположный вектору 
будем обозначать 
.
Определение. Суммой векторов 
называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора 
, а конец – с началом вектора 
при условии, что начало вектора 
перенесено в конец вектора (правило треугольника).
Пример 1. Таким образом, чтобы сложить два вектора 
, нужно выбрать на плоскости произвольную точку М и отложить от нее вектор
а затем от точки А отложить вектор 
Тогда вектор 
является суммой векторов , т.е. 
Суммой двух векторов 
является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из их общего начала (правило параллелограмма).
|
|
|
Пример 2. Сложить векторы 
, пользуясь правилом параллелограмма.
 |
Возьмем произвольную точку О на плоскости. Отложим от нее вектор 
и вектор (приведем их к общему началу).
Построим на этих векторах параллелограмм.
Тогда суммой векторов будет вектор 
, являющийся диагональю параллелограмма и выходящий из общего начала векторов 
, т.е. 
.
Отсюда сразу следует, что 
.
Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника.
Пример 3. Найти сумму векторов 
.
 |
Возьмем произвольную точку М на плоскости и отложим от нее вектор , затем от конца вектора отложим вектор ; от конца вектора отложим вектор ; от конца вектора отложим вектор 
. Соединяя начало вектора с концом вектора , получим результирующий вектор, являющийся суммой данных четырех векторов.
Определение. Разностью векторов и называют сумму вектора 
, т.е. 
.
Если два вектора и приведены к общему началу, то их разность 
есть вектор, идущий из конца ("вычитаемого") к концу ("уменьшаемого").
|
|
|
Пример 4. Найти разность векторов и
 |
Возьмем произвольную точку М на плоскости и отложим от нее векторы и
Соединим концы векторов и направим этот отрезок из конца в конец . Этот вектор и будет разностью векторов и .
Определение. Произведениемвектора на число (скаляр) k называется вектор 
, который имеет длину, равную 
и коллинеарен . При этом, если k>0, то векторы и сонаправлены, если k<0, то они противоположно направлены.
 |
Пример. Даны векторы и :
Построить вектор 
.
Возьмем произвольную точку О на плоскости. Отложим от нее 
, а затем от конца полученного вектора отложим 
. Теперь соединим точку О с концом вектора . Полученный вектор и будет результирующим.
Проекция вектора на ось. Свойства проекций
Определение. Проекцией вектора 
на ось 
называется длина отрезка 
этой оси, заключённого между проекциями точек A и B, взятая со знаком «+», если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, и со знаком «-» в противоположном случае.
B B
A
А
l l
|
|
|
b a
a b
Тот факт, что отрезок 
является проекцией вектора на ось, записывается следующим образом 
.
Приведём основные свойства проекций:
1) Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью проекции и вектором, т.е:
.
B
 |
ö a
A
a b l
Отсюда, в частности следует, что равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
2) Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме слагаемых векторов на ту же ось.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 26; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!