Домашнее задание: П. 8. № 156; 166(а,б)

Цели:

1.Закрепление умений и навыков решения задач с помощью уравнений.

2. Знакомство с одним из первых учебником по математике Л. Магницкого.

2.Решения старинных задач из этого учебника.

3. Сравнить различные способы решения этих задач.

ХОД УРОКА.

 «Везде исследуйте всечасно, что есть велико и прекрасно, чего еще не видел свет».

I . Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы повторим решение задач с помощью уравнений. Вспомним основные понятия, связанные с уравнениями, свойства уравнений.

II . Опрос: Тест

Как называется равенство, содержащее неизвестное?.

Как называется число, которое обращает уравнение в верное равенство?.

Как называются уравнения, у которых одинаковые корни?.

Дополнительные вопросы:

1. Что, значит, решить уравнение?

2. Какими свойствами обладают уравнения?

III . Объяснение (рассказ учителя, решение старинных задач).

Учитель: На этом уроке мы будем решать старинные задачи из учебника «Арифметика, сиречь наука числительная…». Автором его был выдающийся педагог – математик Леонтий Магницкий.  Эта книга представляла собой энциклопедию математики, так как включала не только арифметику, но и основы алгебры, геометрии, тригонометрии и астрономии. По этой книге учился М.В. Ломоносов.

   Этот учебник был издан типографическим способом в 1703 году необычайно большим по тем временам тиражом – в количестве 2400 экземпляров. На протяжении полувека, до середины XVIII столетия, "Арифметика" Леонтия Филипповича служила учебником для учащихся, Магницкий на страницах своей знаменитой книги высказал пожелание: " И желаем, да будет сей труд Добре пользовать русский весь люд". Высокую оценку деятельности Магницкого давали его современники и потомки, его научные труды признавали за образец учености, про него писали: " Магницкий Леонтий муж, сведущий славянского языка,...добросовестный и нельстивый человек, первый российский арифметик и геометр, первый издатель и учитель в России арифметики и геометрии".

Эта книга на протяжении 50 лет была основным учебником по математике для всех учебных заведений России, им, возможно, будучи ребенком, пользовался наш земляк

М.Ю. Лермонтов.  Программа учебного курса Московского пансиона, куда в 1828 г. поступил Лермонтов, была очень обширной. Хотя в Париже господствовало литературное направление, здесь преподавались и высшая математика, и естественная история, и римское право, русские государственные и гражданские законы, римские древности, эстетика, славянский язык, чуть позже – греческий…. Занятия вели преподаватели университета, математику преподавал один из известнейших профессоров того времени Д.М. Перевощиков. По воспоминаниям воспитанников пансиона из 30 – 40 учащихся он набирал группу из 3 – 4-х человек, наиболее способных в математике, и занимался с ними, не обращая внимания на остальных. Лермонтов “попал” в эту группу избранных. Современники отмечали, что поэт быстро считал в уме, с легкостью решал сложные задачи.

  Задачи из учебника Магницкого оказались весьма жизнеспособны, многие из них перешли в последующие учебники, и до настоящего времени они часто приводятся авторами арифметических и алгебраических задачников. Эти задачи весьма интересны, они дают возможность почувствовать колорит и особенности языка той эпохи.

Многие его задачи пользуются большой популярностью в школьном курсе математики. Рассмотрим некоторые из этих задач.

Задача 1.  В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов".

Запишем условие задачи

Количество ног - 94

Количество голов – 35

План.

Пусть в клетке было х фазанов, тогда кроликов было (35-х) голов. У фазанов было 2х ног, а у кроликов 4(35-х) ног. Так как всего было 35 ног, то получим уравнение: 2х+ 4(35-х) = 94

Решение

2х + 4(35-х) = 94

2х + 140 – 4х = 94

2х – 4х = 94 - 140

-2х = - 46

Х = - 46: (-2)

Х = 23 (фазана)

35 – 23 = 12 (кроликов)

Ответ: фазанов –  23, кроликов -  12

... Диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос):

— Дети, представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 70 (35·2 = 70).

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько их?

— 24 (94 – 70 = 24).

— Сколько же кроликов?

— 12 (24:2 = 12).

— А фазанов?

— 23 (35 – 12 = 23).

 Какой способ вам понравился больше? Какой более доступный? Какой более научный?

А теперь немного отдохнем и реши несколько задач – шуток из этого учебника.

З А Д А Ч И - Ш У Т К И, З А Д А Ч И - З А Г А Д К И

1. К О З А.
Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля, спрашивается: по чему каждая коза пошла?
Р Е Ш Е Н И Е: по земле.

2. М Н О Г О Л И Н О Г ?
Мельник пришел на мельницу, в каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе 3 котят, спрашивается, много ли ног было на мельнице?
Р Е Ш Е Н И Е: две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы.

3. С К О Л Ь К О У Т О К ?
Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя другими и три в ряд, сколько всего летело уток ?
Р Е Ш Е Н И Е: всего летело три утки, одна за другой.

4. З А С К О Л Ь К О М И Н У Т ?
Ребята пилят бревна на метровые куски, отпиливание одного такого куска занимает одну минуту, за сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров?
Р Е Ш Е Н И Е: за 4 минуты.

5. К А К Р А З Д Е Л И Т Ь ? Как разделить полтину на половину.
Р Е Ш Е Н И Е: так как полтина - 50 копеек, то надо разделить 50 на 1/2, выполнив деление получим: 50 : 1/2 = 100 копеек = 1 рубль

Рассмотрим решение еще одной задачи из учебника Магницкого.

Задача 2 “Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников? Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников. Спрашивается, сколько было у учителя учеников?” (Ответ: 36)

Эту задачу вы решите дома с помощью уравнения. А мы решим эту задачу, как решается в учебнике Магницкого, которое называется “фальшивым правилом”.

Пусть учеников было 24(первое предположение). Тогда 24+24+12+6+1=67, а не 100, как требуется. Полученный результат на 33 меньше. Допустим, что учеников было 32 (второе предположение). Тогда: 32+32+16+8+1=89, что на 11 меньше требуемого. После этого Магницкий дает правило для получения ответа.”

Метод ложного положения

С самой глубокой древности и до XIX в руководствах по арифметике занимал очень видное место так называемый метод ложного положения или метод предположений. Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос "О правилах фальшивых или гадательных".
В русской учебной литературе "фальшивое правило" имеется во всех руководствах ХУШв. и в значительной части учебников XIX в. Пример расположения вычислений при применении "фальшивого правила" у Л.Ф. Магницкого: "Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу к тебе в ученики отдать своего сына. Учитель ответил: если придет учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников сто." Удивившись ответу, спрашиватель отошел и стал изыскивать посредством сей науки так:

"Через второе фальшивое правило" 792:22=36 Толико бяше в том училище учеников.

В первом столбце подсчитывается, что при первом предположении (учеников было 24), мы получили всего 67, меньшее чем 100 на 33. Во втором столбце таким же образом находится, что при втором предположении, что учеников было 32, получается 89, меньше на 11.
Л.Ф.Магницкий пишет: "Через второе фальшивое правило", т.е. имеем тот случай, когда оба положения дали "меньше". В середине он выписывает оба положения и оба отклонения. Тут же крестом указывает, какое число на какое надо умножить и выполняется умножение 32*33=1056 и 24*11=264, 1056-264=792 и указывается, что по "второму фальшивому правилу" надо найти разность отклонений 33-11=22 и способом вычерчивания выполняетс яделение 792:22=36. "Толико бяше в том училище учеников".
По "методу весов" решение располагалось бы так. Даем три решения при следующих положениях:

Правило решения можно записать так: "Возьми для неизвестного числа, какое ты хочешь, назови его "первое положение" и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное, но если оно отклоняется в ту или другую сторону, назови разницу первым отклонением. Тогда возьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяет условию, то даст второе отклонение. После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови произведение первым результатом; затем второе положение умножай на первое отклонение и это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и тоже время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонении; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений; частное и есть искомое число.
С помощью "весов" на одну чашу "клали" первое положение, подсчитав отклонение, писали его над весами, если оно положительное, и гад весами, если оно отрицательное. Если отклонения оказывались записанными оба по одну сторону весов, то накрест взятые произведения положения и отклонения вычитали одно из другого и разность делили на разность отклонений. Если же отклонения оказывались записанными по разные стороны от весов, от произведение и отклонение складывали. Над точкой опоры весов писали требуемую условием правую часть равенства. Старинные русские меры сменились в России в начале XX века метрической системой. Преимущество последней школьники видят при решении задач определенного типа (см. приложение).
Сравнение громоздких, трудно запоминающихся правил решения задач из старинных учебников математики с современными, теми, которые применяются и на уроках в школе, позволило ребятам сделать вывод о преимуществе алгебраического метода решения задач такого типа.
Внеклассные занятия дают больше возможностей для развития школьников. На таких занятиях нет жестких временных рамок и строгой регламентированности урока. Каждый ученик выбирает столько заданий, сколько ему под силу, уровень сложности задач тоже можно выбирать. У ребят нет страха, что поставят плохую оценку за неправильное решение. Каждый имеет право на ошибку, поэтому в поиске пути решения задач участие принимают все.
Задачи для каждого занятия подбираются в соответствии с программой факультатива. Уровень их сложности различен: от устных, решаемых почти без вычислений, до таких, на решение которых затрачивается все время, отведенное на занятие. Как правило, это задачи, решаемые и арифметическим и алгебраическим способами. Содержание условия задач интересно для ребят, необычен язык, форма изложения, наименование единиц измерения, поэтому в поиск решения отправляются все. Интерес стимулирует к преодолению трудностей, воспитывает волевые качества личности, трудолюбие, а успех (у каждого свои успехи и достижения) помогает в учении.

III . Заключительное слово учителя: Сегодня на уроке мы с вами совершили путешествие в прошлое нашего села, узнав историю его происхождения. Кроме того, нам выпала честь решать задачи из учебника, которым, будучи ребенком, возможно, пользовался наш земляк, великий русский поэт Михаил Юрьевич Лермонтов. Он в своей короткой, но яркой жизни стремился “во всем дойти до совершенства...” И я желаю, чтобы эти слова стали вашим девизом.

Домашнее задание: П. 8. № 156; 166(а,б)

Мы поможем в написании ваших работ!