Время выполнения 90 мин. Максимальное кол-во баллов - 35
Вариант 2. Все задания по 7 баллов.
Критерии оценивания заданий.
| Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
| 7 | Полное (верное) решение. |
| 6-7 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
| 5-6 | Решение в целом верное. Однако не рассмотрены отдельные случаи, либо решение содержит ряд ошибок, но может стать правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка+пример» верно получена оценка. |
| 2-3 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи, или в задаче типа «оценка+пример» верно построен пример. |
| 1 | Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении). |
| 0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
| 0 | Решение отсутствует. |
*Указания к оцениванию задач содержатся также в комментариях к решениям.
1. Число называется палиндромом, если его запись одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 
или 
). Маша задумала трехзначный палиндром и прибавила к нему число 
и получила четырёхзначный палиндром. Какое число задумала Маша?
Ответ. 
.
Решение. Обозначим число, задуманное Машей, за 
. Ясно, что 
не превосходит 
, следовательно, 
не превосходит 
. С другой стороны, не меньше 
. Единственный палиндром между числами и 
– это число 
(потому что его первая цифра обязательно 
, а вторая – обязательно 
, поэтому третья и четвертая – это 
). Отсюда 
, и 
.
|
|
|
Комментарий. Только ответ – 2 балла. Сформулирована, но не доказана оценка, что трехзначный палиндром не меньше 948 (либо четырехзначный не больше 1051) – снимать 2 балла. Сформулировано, но не пояснено утверждение, что в интервале от 948 до 999 подходит только 949 – снимать 1 балл. Арифметические (вычислительные) ошибки, прочие недочеты – снимать 1 балл.
2. Разрежьте фигуру двумя прямыми на 
частей.
Решение. Например, как на рисунке.
Комментарий. Приведен верный пример, то есть, изображена фигура и показано, как её разрезать на 6 частей – 7 баллов. Есть только рассуждения, как надо провести прямые, но рисунок отсутствует – 2 балла. Приведен только пример, в котором условие не выполняется – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.
3. Соня сложила два последовательных натуральных числа, Женя сложила шесть последовательных натуральных числа, Настя сложила восемь последовательных натуральных чисел. У всех девочек оказались равные суммы. Однако две из них сложили свои числа правильно, а одна – нет. Кто из них ошибся?
|
|
|
Ответ. Настя.
Решение. Сумма двух последовательных натуральных чисел нечётна. Сумма четырёх последовательных натуральных чисел чётна (как сумма двух нечётных). Сумма шести последовательных натуральных чисел нечётна (так как её можно разбить на сумму двух и четырёх последовательных натуральных чисел, а сумма чётного и нечётного числа – нечётное число). Сумма восьми последовательных натуральных чисел чётна (как сумма двух нечётных). Таким образом, суммы Сони и Жени должны быть нечётными числами, а сумма Насти должна быть чётным числом. Поскольку ошиблась только одна, то это Настя. Соня и Женя могли назвать равные суммы, например: 
Комментарий. Полное верное обоснованное решение – 7 баллов. Ответ получен из рассмотрения конкретного примера, но в анализе примера использована идея чётности – 6 баллов. Ответ получен из рассмотрения конкретного примера без попыток обобщения – 2 балла. Не показано, что у Никиты и Дениса суммы могли быть равны – снимать 1 балл. Приведен только верный ответ – 1 балл.
4. Мама и папа собирали в лесу грузди и рыжики. Папа нашёл в два с половиной раза больше груздей, чем мама. Зато рыжиков мама нашла в два с половиной раза больше, чем папа. Общее число грибов, найденных мамой, составляет 
от общего числа грибов, найденных папой. Во сколько раз больше папа нашёл груздей, чем рыжиков?
|
|
|
Ответ. 
.
Решение. Пусть мама нашла одну часть груздей, тогда папа нашёл 
частей. Папа нашёл частей рыжиков, тогда мама нашла 
Составим таблицу:
| Мама | Папа | |
| Грузди |
| 
|
| Рыжики |
| 
|
откуда 
Нужное отношение равно 
Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Ответ получен подбором чисел, удовлетворяющих условию, но не показано, что другие ответы невозможны – 3 балла. При верном ходе решения допущены ошибки в преобразованиях и – снимать 2 балла за ошибку. Приведен только ответ – 0 баллов. Задача не решена или решена неверно – 0 баллов.
5. Каждый из 
садоводов выращивает или малину, или клубнику, или и то и другое. Число садоводов, которые выращивают малину, составляет от 
до 
всех садоводов, а число садоводов, которые выращивают клубнику, составляет от 
до 
всех экскурсантов. Сколько может быть садоводов, которые выращивают и малину, и клубнику? Найдите наибольшее и наименьшее значения.
|
|
|
Ответ. От 
до 
Решение. Число садоводов, которые выращивают малину, может принимать значения от 
до 
, число садоводов, которые выращивают клубнику – от 
до 
. Сумма может принимать значения от 
до 
Но число садоводов, выращивающих и малину, и клубнику, входит в эту сумму два раза. Если вычесть это число, найдём общее число садоводов, то есть . Отсюда получаем уравнения 
. Наибольшее число 
наименьшее число 
Комментарий. Приведено полное обоснованное решение – 7 баллов. Баллы раскладываются так: найдены только границы чисел садоводов, выращивающих клубнику и малину – по 1 баллу. Найдены границы суммы – ещё 1 балл. Найдены наибольшее и наименьшее значения – ещё по 2 балла за каждое. За арифметические ошибки при правильных рассуждениях снижать на 1 балл за каждую ошибку. Приведен только ответ – 0 баллов.
Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!