С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц). 10 страница

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀  нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀  нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1) егер х аргумент х₀  нүкте арқылы өткенде  таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х₀  нүкте максимум нүктесі болады;

2) егер х аргумент х₀  нүкте арқылы өткенде  таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х₀  нүкте минимум нүктесі болады;

3) егер х аргумент х₀нүктеарқылыөткенде таңбасынөзгертпесе, онда х₀ нүкте экстремум нүктесіемес.

 

Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀  нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Соныменқатар болса, онда

1) егер болса, онда х₀нүкте f(x) функциясының максимум нүктесіболады;

2) егер болса, онда х₀нүкте f(x) функциясының минимум нүктесіболады.

19.Функцияны туынды көмегімен зерттеу.

А)Функция графигінің дөңестігі және ойытығы.

Анықтама. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады.

           3-суретте y=f(x) функциясының графигі  аралығында дөңес болады да, ал  аралығында ойыс болады. Функция дөңестігінің жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс таңбалы болса, функция графигі осы аралықта дөңес, ал екінші туындысы оң таңбалы болса, функция графигі осы аралықта ойыс болады.

 

Б) Иілу нүктесі. Анықтама. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Суретте қисық бойында жатқан (x₀, f(x₀)) нүкте графиктің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұр, яғни ол функцияның иілу нүктесі болады. Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х₀  нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x₀, f(x₀)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады.

Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап.Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)= .

2) Бірінші және екінші туындыларын табамыз: ;

.

3)ІІ-текті күдікті нүктелерін  шартынан табамыз: .  болғандықтан, . Осыдан  және  күдікті нүктелер табылады. Осы нүктелер анықталу облысын үш интервалға бөледі:

, , .

Осы интервалдардағы екінші туынды таңбасын анықтаймыз (4-сурет):

 

у 1 +          -           +                                                                                             х ойыс дөңес ойыс     0                       4-сурет                                            5-сурет

Сонымен,функция графигі  және  аралықтарда ойыс, ал  аралықта дөңес болады екен. Екінші ретті  туынды  нүктелерден өткенде таңбасын өзгертетіндіктен, бұл нүктелер функцияның иілу нүктелері болады

С)АСИМПТОТАЛАРЫ.Анықтама. Егер y=f(x) функциясы үшін  және шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда  функция графигінің тік асимптотасы деп аталады (6а-сурет).

 у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса (6б-сурет).

у                                                          у М x y = f ( x ) х          0  а   6а-сурет                                     6б-сурет

Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b

Көлбеу асимптотаны мынадай теорема көмегімен табуға болады.

Теорема. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті: , .

20. Кеңістіктегі түзу.

a) Кеңістіктегі түзудің теңдеулері

Кеңістіктегі түзудің орны осы түзуде жататын бір нүктесі және осы түзуге параллель векторы арқылы анықталады. Кеңістіктегі осы түзудің теңдеуін қорытып шығарамыз. Түзудің теңдеуін құру үшін түзудің бойынан кез келген ағымдағы координаталарымен нүктесін аламыз да М₀ және М нүктелерін координаталарымен саламыз да М₀ және М нүктелерін координаталар басымен қосамыз және координаталарын табамыз:

болатыны суерттен көрініп тұр. Егер М нүктесі түзу бойында жататын болса, онда және векторлары коллинеарт болады. Ендеше, бұл векторлар коллинеарлық шартын қанағаттандырады, мұндағы t - параметр.

Векторлардың коллинеарлық шартын (1) түрінде жазамыз, бұл түзудің векторлық теңдеуі.

(1) түзудің векторлық теңдеуі, нүктесі мен бағыттаушы векторының координаталары берілсін.

(1) теңдеудің сол жағын векторлық түрде жазамыз

және бағыттаушы вектор

Сонда (1) теңдеу мына түрге келеді:

Теңдіктің оң және сол бөліктеріндегі бірлік векторлардың сәйкес коэффициенттерін теңестіріп, түзудің параметрлік теңдеуін аламыз.

немесе (2)

(2)- параметрлік теңдеу.

(2) теңдеудегі t параметрінен құтылып, түзудің канондық теңдеуін аламыз:

(3)

Мысал. нүктесінен өтетін және векторына параллель түзудің канондық және параметрлік теңдеуін құру керек.

(3):

(2):

b) Түзулердің өзара орналасуы

Екі түзу параллель болу үшін олардың бағыттаушы векторлары коллинеар болуы қажетті және жеткілікті, яғни векторлардың сәйкес координаталары пропорционал.

 

 

           Екі түзу перпендикуляр болу үшін олардың бағыттаушы векторлары перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті, яғни олардың арасындағы бұрыштың косинусы нөлге тең.

С) Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш

           Анықтама. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтықтағы проекциясының арасындағы кез келген бұрышты айтады.

 

                                                                        

                                                                                         a

 

                                                                                         a

                                                                                         j

 

           Айталық жазықтық теңдеуімен, ал түзу -  теңдеуімен берілсін. Геометриялық кескіні бойынша (суретті қара.) ізделінді бұрыш a = 90⁰ - j, мұндағыa - угол и векторлары арасындағы бұрыш. Бұл бұрыш төмендегі формула бойынша табылады:

 

Координаталық формада:

 

21.Анықталған интеграл.

А)Анықталған интегралдың анықтамасы

Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады.

Б)Анықталған интегралдың қасиеттері

Ары қарай, біз тек интегралданатын функцияларды ғана қарастырамыз.

1) , - тұрақты.

2) Егер  кесіндісінде   болса, онда .

3) Егер  кесіндісінде  функциясы төменнен және жоғарыдан сәйкесінше және  сандарымен шектелген болса, яғни, егер  кесіндісінде  теңсіздігі орындалса, онда  орынды. Бұл тұжырымның дәлелдеуі бірінші және екінші қасиеттерден шығады. Бұл қасиеттер – анықталған интегралдың жоғарғы және төменгі жағынан бағалануыдеп аталады.Мысал 1.  интегралын бағалайық.

 болғандықтан,  болады. Бұдан,

.

4)   функциясы   кесіндісінде үзіліссіз болсын, онда бұл кесіндіден  теңдігі орындалатындай  нүктесі табылады.Бұл   мәні функцияның   аралығындағы орта мәні деп аталады.

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 53; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!