Работы высылать на электронную почту

Занятие № 1

Тема программы: Числовые методы

Тема занятия: Погрешности приближенных значений чисел

Краткая теория:

Опорный конспект В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А — точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числом, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, — то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешностиили ошибки.

1. Погрешностью Δа приближенного числа а называется разность вида

Δа = А — а , (1.1),

2. Определение. Абсолютной погрешностью А приближенного числа а называется абсолютная величина погрешности этого числа

Δ = |А — а|. (1.2)

В силу того, что точное число А, как правило, неизвестно, то пользуются понятием предельной абсолютной погрешности.

3. Определение. Предельной абсолютной погрешностью Δ_a приближенного числа а называется число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т. е.

Δ_a ≥ Δ. (1.3)

Из (1.3) имеем

Δ_a ≥ |А — а|,

следовательно,

а - Δ _a £ А £ а + Δ_a, (1.4)

т. е. а - Δ _a является приближением числа А по недостатку, а а + Δ_a — приближением числа А по избытку.

Формулу (1.4) кратко записывают в виде А = а ± Δ _a.

На практике под точностью измерений обычно понимают предельную абсолютную погрешность. Например, если расстояние между двумя пунктами, равное S = 900 м, получено с точностью до 0,5 м, то точное значение величины S заключено в границах 899,5 м £ S £900,5 м. Введение абсолютной или предельной абсолютной погрешностей совершенно недостаточно для характеристики степени точности приближенных чисел. Существенным показателем точности приближенных чисел является их относительная погрешность.

4. Определение. Относительной погрешностью δприближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А ¹ 0)

δ= 100% (1.5)

5. Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется число δ_а не меньшее относительной погрешности этого числа, т. е.

δ_а ≥ δ. (1.6)

Из (1.6) имеем Δ £ |А|δ_а

Следовательно, можно считать, что предельная абсолютная погрешность числа а равна

Δ_а £ |А|δ_а. (1.7)

Если принять А » а, то формула (1.7) примет вид

Δ_а £ |а|δ_а. (1.8)

Следовательно, точное число А лежит в следующих границах:

а(1 - δ_а) £ А £ а(1 + δ_а).

Формула (1.8) позволяет определять предельную абсолютную погрешность по заданной предельной относительной погрешности и наоборот.

Примеры

№ 1 Расстояние между двумя пунктами, равное S = 900 м, получено с точностью до 0,5 м, то точное значение величины S заключено в границах

900- 0,5 £ S £ 900+ 0,5

899,5 м £ S £ 900,5 м.

№ 2. Округляя точное число до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную σ погрешность полученного приближенного числа.

Дано: . Найти: Δа, Округляя точные число до трех значащих цифр, определить абсолютную погрешность полученного приближенного числа.

Дано: . Найти:

Решение:

1. Округлим 0,1545 с точностью до трех знаков после запятой, т.к. .

Получим 0, 155

2. Вычислим абсолютную погрешность приближения

Δа = |А — а| , Δа =|0,1545 – 0,155| = 0, 0005

3. Найдем относительную погрешность

Ответ: ,

№ 3. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано: . Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЕ

Задачи.

№ 1. Округлить число 734,256 до десятых, до сотых

№ 2. Записать оценку величины n в виде двойного неравенства, если n = 0,385 0,001

№ 3. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано: А =0, 2165 n=3. Найти:

№ 4. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано: ά = 3, 653 = 5% Найти:

Работы высылать на электронную почту

Korkina_vi@mail.ru

Ваш преподаватель: Валентина Ивановна. Всем успешной сдачи сессии!

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 49; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!