Задачи для самостоятельного решения

Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Необходимо изучить п. 1.2.7 и п. 1.2.8 из пособия [5].

3.1. Дана матрица . Докажите, что она имеет обратную матрицу и найдите элемент матрицы , стоящий в третьей строке и втором столбце.

Решение. Вычисляем . Для этого прибавляем к первой строке третью, умноженную на ( ), ко второй строке третью, умноженную на , а затем выполняем разложение определителя по первому столбцу.

Так как , то матрица невырождена, а поэтому имеет обратную. Элемент обратной матрицы находим по формуле (1.8) из [5]: , где – алгебраическое дополнение элемента матрицы . Обратите внимание, что для отыскания элемента , стоящего в третьей строке и втором столбце, нужно найти алгебраическое дополнение элемента , стоящего во второй строке и третьем столбце матрицы , и разделить его на определитель матрицы .

; .

Ответ: .

3.2. Дана матрица . Докажите, что она имеет обратную матрицу и найдите её.

Решение. Вычисляем . Для этого прибавляем к первой строке третью, умноженную на 5, ко второй строке третью, умноженную на 2, а затем выполняем разложение определителя по третьему столбцу.

Так как , то матрица невырождена, а поэтому имеет обратную. Элементы обратной матрицы находим по формуле (1.8) из [5]: , где – алгебраическое дополнение элемента матрицы Обратите внимание, что для отыскания элемента , стоящего в -ой строке и -ом столбце, нужно найти алгебраическое дополнение элемента , стоящего в -ой строке -ом столбце матрицы , и разделить его на определитель матрицы . Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

; ; ;

; ; .

Вычисляем все определители второго порядка и записываем присоединённую матрицу . Её элементы – алгебраические дополнения элементов строк матрицы , мы записываем в столбцы матрицы .

Поделив найденные элементы присоединенной матрицы на определитель , получим

Проверить результаты можно, найдя произведение или . В любом случае должна получиться единичная матрица .

Проверка:

Обратная матрица найдена верно

Ответ: .

3.3. Найдите матрицу , если .

Решение. Обозначим , . Тогда данное уравнение можно записать в виде . Так как

, то матрица невырождена и имеет обратную. Поэтому . Так как и , получим . Находим матрицу .

, ,

, .

Тогда .

Проверка: подставим матрицу в данное уравнение.

Матрица удовлетворяет данному уравнению, следовательно, найдена верно.

Ответ: .

3.4. Найдите матрицу , если .

Решение. Обозначим , , как и в задаче 3.3. Тогда данное уравнение можно записать в виде . Матрицу мы нашли в задаче 3.3. Вычисляем матрицу : . Так как и

, получим .

Проверка: подставим матрицу в данное уравнение.

Матрица удовлетворяет данному уравнению, следовательно, найдена верно.

Ответ: .

Сравнивая решения задач 3.3 и 3.4, видим, что уравнения и имеют разные решения.

Задачи для самостоятельного решения

3.5. Докажите, что данная матрица имеет обратную и найдите её. Выполните проверку. ; .

Ответ: ; .

3.6. Дана матрица , причем .

Докажите, что .

3.7. Докажите, что матрица имеет обратную. Найдите элементы обратной матрицы: , , .

Ответ: , , .

3.8. Докажите, что матрица

имеет обратную. Найдите элементы обратной матрицы , , , .

Ответ: , , , , .

3.9. Докажите, что матрица имеет обратную и найдите её. Выполните проверку.

Ответ: .

3.10. Докажите, что матрица имеет обратную и найдите её. Выполните проверку.

Ответ: .

3.11. Пусть – невырожденная квадратная матрица. Докажите, что .

3.12. Найдите , если .

Ответ: .

3.13. Предполагая, что матрица имеет обратную матрицу, докажите справедливость равенства . Решите в общем случае матричные уравнения и , если существует.