Решение задач типового варианта контрольной работы
Министерство образования и науки Республики Татарстан
Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Казанский энергетический колледж»
«Математика»
Методические указания
по выполнению
контрольной работы
для учащихся-заочников
по специальности
«Электрические станции, сети и системы»
Казань, 2014
Разработка включает методические рекомендации по выполнению контрольной работы, задания контрольной работы и решение типовых заданий.
Предназначена для студентов-заочников средних специальных учреждений образования.
Составитель:
Фугина С.И., преподаватель математики Казанского энергетического колледжа.
Общие методические указания
Основной формой изучения курса «Математика» для студентов-заочников является самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, сборниками задач и упражнений, справочниками. Список основных и наиболее доступных из них приводится в конце пособия.
К выполнению контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса. Изучение любого раздела курса следует начинать с конспекта установочных лекций, соответствующих глав учебника, учебного пособия или руководства к решению задач, в которых имеется необходимая теория, приводятся расчетные формулы и решения задач по темам.
|
|
|
Нужно также внимательно разобрать решения задач типового варианта контрольной работы, которые приводятся в данном пособии. После этого, по аналогии с решением типового варианта к контрольной работе, можно приступать к решению самой контрольной работы.
При выполнении контрольной работы следует руководствоваться следующими указаниями:
1. Контрольная работа должна быть выполнена и представлена на проверку в срок, предусмотренный учебным планом.
2. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента.
3. Условия всех задач нужно записывать полностью, а их решения располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.
4. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи.
5. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.
|
|
|
6. Для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.
7. В конце работы надо указать перечень использованной литературы, поставить подпись и дату.
После получения прорецензированной работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные недостатки.
В случае незачета контрольной работы студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.
В период экзаменационной сессии студент обязан представить зачтенную контрольную работу и при необходимости (по требованию преподавателя) должен дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе.
Программа курса «Математика»
1. Комплексные числа.
2. Элементы линейной и векторной алгебры.
3. Функция. Предел последовательности и предел функции.
4. Дифференциальное исчисление функций одной и многих переменной.
5. Неопределенный и определенный интегралы.
6. Дифференциальные управления.
|
|
|
7. Числовые и функциональные ряды.
8. Элементы комбинаторики, теории вероятностей.
Критерии оценки выполнения домашней контрольной работы
Отметка «зачтено» выставляется при условии:
- работа выполнена в полном объеме, в соответствии с заданием;
- задачи решены верно, ход решения пояснен;
- графические задания выполнены аккуратно. Работа аккуратно оформлена, приведен список использованной литературы.
Работа может быть зачтена, если она содержит единичные несущественные ошибки:
- отсутствие выводов в решении задач;
- арифметические ошибки, в решении задач, не приводящие к абсурдному результату и т. п.;
- при отсутствии списка используемой литературы или несоответствии его оформления стандарту.
Отметка «не зачтено» выставляется при условии:
Работа выполнена не в полном объеме или содержит следующие существенные ошибки:
- отдельные задания в работе освещены не в соответствии с вариантом задания;
- неправильно употребляются научная терминология и единицы измерения;
- для решения задач неправильно выбрана формула, допущены грубые ошибки в расчетах;
- схемы, графические задания выполнены не в полном объеме.
Контрольная работа, выполненная небрежно, неразборчивым почерком, а также не по заданному варианту, возвращается студенту без проверки, с указанием причин возврата.
|
|
|
Порядок выполнения домашней контрольной работы
Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с порядковым номером по списку группы.
Таблица 1
| Номер варианта | Номера задач | ||||||||
| 1 | 1 | 11 | 31 | 51 | 71 | 91 | 101 | 111 | 121 |
| 2 | 2 | 12 | 32 | 52 | 72 | 92 | 102 | 112 | 122 |
| 3 | 3 | 13 | 33 | 53 | 73 | 93 | 103 | 113 | 123 |
| 4 | 4 | 14 | 34 | 54 | 74 | 94 | 104 | 114 | 124 |
| 5 | 5 | 15 | 35 | 55 | 75 | 95 | 105 | 115 | 125 |
| 6 | 6 | 16 | 36 | 56 | 76 | 96 | 106 | 116 | 126 |
| 7 | 7 | 17 | 37 | 57 | 77 | 97 | 107 | 117 | 127 |
| 8 | 8 | 18 | 38 | 58 | 78 | 98 | 108 | 118 | 128 |
| 9 | 9 | 19 | 39 | 59 | 79 | 99 | 109 | 119 | 129 |
| 10 | 10 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 110 | 120 | 130 |
Таблица 2
| Номер варианта | Номера задач
| ||||||||
| 11 | 2 | 21 | 41 | 61 | 81 | 93 | 104 | 117 | 131 |
| 12 | 3 | 22 | 42 | 62 | 82 | 94 | 105 | 118 | 132 |
| 13 | 4 | 23 | 43 | 63 | 83 | 95 | 106 | 119 | 133 |
| 14 | 5 | 24 | 44 | 64 | 84 | 96 | 107 | 120 | 134 |
| 15 | 6 | 25 | 45 | 65 | 85 | 97 | 108 | 111 | 135 |
| 16 | 7 | 26 | 46 | 66 | 86 | 98 | 109 | 112 | 136 |
| 17 | 8 | 27 | 47 | 67 | 87 | 99 | 110 | 113 | 137 |
| 18 | 9 | 28 | 48 | 68 | 88 | 100 | 101 | 114 | 138 |
| 19 | 10 | 29 | 49 | 69 | 89 | 91 | 102 | 115 | 139 |
| 20 | 1 | 30 | 50 | 70 | 90 | 92 | 103 | 116 | 140 |
Решение задач типового варианта контрольной работы
Задание 1. Даны комплексные числа ż1= -2 + ί и ż2= 3 + ί .
Найти: 1) ż1 + ż2 2) ż2 - ż1 3) ż1 * ż2 4) ż1 / ż2
Решение
1) ż1 + ż2 = -2 + ί + 3 + ί = (-2+3) + ί (1+1) = 1+2ί
2) ż2 - ż1 = 3 + ί – (- 2 + ί) = (3-(-2)) + ί (1-1) = 5+0ί = 5
3) Перемножим числа ż1 и ż2:
ż1 ∙ ż2 = (-2 + ί) ∙ (3 + ί) = (-2∙3-1∙1)+(-2∙1+3∙1)ί = -7 + ί
4) Для нахождения частного 
умножим числитель и знаменатель дроби на 3 – ί (т.е. на число, сопряженное знаменателю). Тогда получим:
ί , т.к. ί 2 = -1
Задание 2. Дана система линейных уравнений.
х + 5у – z = 3,
2x + 4y -3z = 2,
3x – y – 3z = -7.
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместимости решить ее:
а. методом Гаусса;
б. методом Крамера;
Решение
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А 
данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на -2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на -3 и сложим с третьей. Поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
В = ~ 
~
Следовательно, гаng А = гаng В = 3 (т е. числу неизвестных систем). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
А. Методом Гаусса.
х + 5у – z = 3,
2x + 4y -3z = 2,
3x – y – 3z = -7.
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов: 
А
(вертикальной чертой отделен столбец, составленный из свободных членов).
Умножая первую строку матрицы А поочередно на -2, -3 и прибавляя соответственно ко второй и третьей, получаем матрицу
1 5 -1 3
А1 = 0 -6 -1 -4
0 -16 0 -16
Матрице А1 соответствует система уравнений
х + 5у – z = 3,
- 6y -3z = - 4,
- 16y = -16.
Из третьего уравнения находим у = 1, второе уравнение дает z = 4 – 6y, т.е. z = -2,
а первое х = 3 – 5у + z, т.е. х = - 4.
Следовательно, исходная система также имеет решение.
х = - 4; у = 1; z = - 2
Ответ: (-4; 1; -2)
Б. Методом Крамера.
где:
∆ = = - 16
∆х = 
= 64
∆у = 
= -16
∆z = 
= 32
Находим: 
Ответ: (-4; 1; -2)
Задание 3. Найти пределы:
а) 5х2 + 13х + 6 б) 7х4 + 2х3 +5
lim -------------------- lim --------------------
x → - 2 3х2 + 2х – 8 x → ∞ 6х4 + 3х3 – 7x
Решение
а) Здесь имеем неопределенность 
. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель (х+2). В результате получим:
5х2 + 13х +6 5(x+2)(x+3/5) 5(x+3/5)
lim -------------------- = lim -------------------- = lim -------------------- =
x→ -2 3х2 + 2х – 8 x→ -2 3(x+2)(x-4/3) x→ -2 3(x-4/3)
5x + 3 5∙(-2) + 3 -7
= lim ----------- = ---------------- = ---- = 0,7
x→ -2 3x - 4 3∙ (-2) - 4 -10
б) 7х4 + 2х3 +5
lim --------------------
x→ ∞ 6х4 + 3х3 – 7x
Здесь имеем неопределенность 
. Чтобы раскрыть это неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень многочленов в числителе и знаменателе, т.е. на х4
Тогда получим:
7х4 + 2х3 +5 7 + 2/х +5/х4 7
lim -------------------- = lim -------------------- = ----
x→ ∞ 6х4 + 3х3 – 7x x→ ∞ 6 + 3/х2 – 7/x3 6
так как 2/х, 5/х4, 3/х2, 7/х3 → 0 при x → ∞.
Задание 4. Исследовать функцию y = x3 – 3x2 + 1 и построить ее график.
Решение .
1. Область определения х € (- ∞; + ∞); функция непрерывна во всей области определения.
2. Находим производную функции
у' = Зх2 - 6х,
приравниваем ее к нулю и определяем критические точки (подозрительные на экстремум)
Зх2 - 6х = 0;
Зх (х-2) = 0; х1 = 0, х2 = 2
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум и построим таблицу 1.
Область определения разделится на промежутки (-∞; 0), (0; 2) и (2: +∞). Определим знак производной на каждом промежутке. Имеем у (-1) = 3∙ (-1)2 = - 6 (-1) = 9 > 0,
у' (1) = 3 • 12 - 6 •1 = -3 < 0, у' (3) = 3 • 32-6 • 3 = 27 -18=9>0. Значит, в промежутках (-∞; 0), (2; +∞) функция возрастает, а в промежутке (0; 2) - убывает. Функция имеет максимум при х = 0, у (0) = 03 - 3 • 02 + 1 = 1, а при х = 2 - минимум
у (2) = 23 - 3 • 22 + 1 = -3.
Имеем (0; 1) -точка максимума, (2;-3) - точка минимума.
4. Исследуем функцию на интервалы выпуклости и точки перегиба и составим таблицу 2.
Для нахождения участков выпуклости и вогнутости точек перегиба найдем вторую производную.
у" =(Зх2-6х)' = 6х - 6
6х - 6 = 0; х = 1. Крайняя точка II рода (подозрительна на перегиб).
Определим знаки второй производной слева и справа от точки х = 1. Например, при х = 0, у" (0) = - 6 < 0; при х = 2. у" (2) = 6 • 2 - 6 = 6 > 0. Следовательно, в промежутке (-∞; 1) кривая выпуклая, а в промежутке (1; +∞) - вогнута. При х = 1 имеем точку перегиба, ее ордината у (1 )= 13 -3 • 12 + 1 = -1.
Точка (1; -1) - точка перегиба.
5. Вертикальных асимптот у графика нет, т.к. нет точек разрыва функции.
Ищем наклонные асимптоты в виде у=kx+b.
k = lim 
= lim 
= lim (x2 - 3x + 
) = ∞
x→∞ x→∞ x →∞
т.е. не существует конечного предела вида lim 
= k,
x→∞
то график данной функции асимпотот не имеет.
6. Для уточнения графика функции найдем координаты еще двух точек, абсциссы которых равны - 1 и 3:
У(-1) = (-1)3-3∙(-1)2+1 = - 3
У(3) = 33-3 - 32+1 = 1
(-1; -3); (3; 1) - дополнительные точки.
Строим все найденные точки и соединяем их плавной линией (рис. 1).
Задание 5. Найти y’
a) y = 
+ 
-5 
Применяя формулы ( 
n· 
, (u(x) ± v(x))’=u’(x) ± v’(x), находим:
y’ = ( 
+ 8x-1 – 5x7 + 10x-6)’ = (x9/4)’ + 8(x-1)’ – 5 (x7)’ + 10(x-6)’ = 
x5/4 – 8x2 – 35x6 – 60x7 =
= 2,25x · 
- 
-35x6 - 
.
b) y = (x3 – 4x2 +6)· 
Применяя формулы ( n· 
(u(x) · v(x))’=u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x), 
и формулу дифференцирования сложной функции, имеем:
y’= (x3 – 4x2 + 6)’ 
+ (x3 – 4x2 + 6) 
= (3x2 – 8x) + 7(x3 – 4x2 + +6) 
.
c) y = 
= 
Применяя формулы ( 
)’ = 
; ( n· ;
(u ± v)’=u’ ± v’, получим:
y’ = 
= 
=
= 
= 
d) y = 
tg2x
y’ = (ln(x+4))’ tg2x + ln (x+4) (tg2x)’= 
·tg2x + ln(x+4)· 
= 
+ 
=
= 
e) y = 
y’ = (cos 3x)’·ctg (x4) + cos 3x·(ctg (x4))’= - 3sin 3x · ctg x4 – 4x3 · cos 3x 
Задание 6. Найти полный дифференциал функции Z = 2x2 у 3.
Решение. Находим частные производные данной функции:
ð Z ð Z
---- = 4xy3, ---- = 6x2 y3,
ð x ð y
Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:
dxZ = 4xy3 dx; dyZ = 6x2y2 dy.
Искомый полный дифференциал функций найдем как сумму ее частных дифференциалов:
dZ = 4xy3 dx + 6x2y2 dy.
Задание 7. Найти неопределенные интегралы и результат проверить дифференцированием.
a) ∫ 
b) ∫ x2 lnx dx
|
|
a) ∫
= - 
∫ t -1/2 dt = - 
+ C = - 
+ C = - 
+ C = - 
+C
ПРОВЕРКА:
( - 1/3 
)’ = ( - 1/3 
)1/2)’ = - 1/3 ∙ 1/2 (2-3x2)-1/2 ∙ ( - 3 ∙ 2x) =
= - 1/6 ∙( - 6x) ∙ 
= 
б) Применим формулу интегрирования по частям:
∫ UdV = U ∙ V - ∫ VdU
Пусть U = lnx, тогда dU= dx / x
dV = x2 dx, V = ∫ x2 dx = x3 /3
Имеем ∫ x2 lnx dx = lnx ∙ x3 /3 - ∫ x3 /3 ∙ dx / x = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∫ x2 dx = 1/3 x3 lnx - 1/3 ∙ x3/3 + C = 1/9 x3 (3 lnx – 1) + C
ПРОВЕРКА:
( 1/9 x3 (3 lnx – 1))’ = 1/9 (x3)’ (3 lnx – 1) + 1/9 x3 (3 lnx – 1)’ = 1/9 ∙ 3x2 (3 lnx – 1) + 1/9 x3 (3/x) =
= x2 lnx – 1/3 x2 + 1/3 x2 = x2 lnx
Задание 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/4 (х - 2)2 и х + 2у – 14= 0; сделать чертеж.
Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой
у = f(х), снизу непрерывной кривой у = φ (х), слева - прямой х = а и справа - прямой х = в, вычисляется по формуле:
S = 
Определим точки пересечения данных линий, для чего решим систему:
Из второго уравнения у = 7 - х/2 подставим значения в первое уравнение системы вместо у разность 7 - х/2, получим:
7-х/2 = 1/4(х-2)2;
7-х/2= 1/4(х2-4х + 4);
28 - 2х = х2 - 4х + 4;
х2 - 2х - 24 = 0,
откуда x1 = - 4, х2 = 6; у1 = 9, у2 = 4.
Таким образом, линии пересекаются в точках А (-4; 9) и В (6; 4). Построим чертеж (рис. 3).
Искомая площадь:
S = 
7 - x/2 – ¼ (x - 2)2) dx =
| |||||||||||||
7 - 1/2x – 1/4 x2 + x - 1) dx =
= 6 + 1/2 x - 1/4 x2) dx = (6x + 1/4 x2 – 1/12 x3) = (36 + 9 – 18) – ( - 24 + 4 + 16/3) =
= 41 2/3 (кв. ед.)
Задание 9. Дан треугольник с вершинами А(-1,- 2), В(1, 0), С( -3,1). Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы CD ;
3) уравнение высоты CH;
4) угол между прямыми СD и СН.
Решение.
1) При составлении уравнения стороны АВ воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 точки - М1(х1,у1) и М2(х2,у2):
= 
Подставив в данное уравнение координаты точек А и В, получим
x + 1 у + 2 x + 1 у + 2
---- - = ----- или ------- = --------- , х + 1 = у + 2 ,
1 + 1 0+2 2 2
y = x-1 - уравнение стороны АВ с угловым коэффициентом kAB=1
2) Точка В является серединой отрезка АВ, её координаты найдём по формулам:
= 
= 0 , 
= 
= -1
Итак, D(0,-1).
Уравнение прямой, проходящей через точки С и D имеет вид:
x + 3 у - 1 2
---- - = ------ или - — (x + 3) = y - 1,
0 + 3 -1 - 1 3
у = - 
x - 1 - уравнение прямой СD, угловой коэффициент kCD = -
3) Поскольку прямая СH перпендикулярна прямой АB, угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением kCH = - 
= -1
Для написания уравнения прямой СН воспользуемся уравнением: y – y0 = k(x-x0)
Полагая в этом уравнении х0 = -3, у0 =1, k=kсн = -1, получим уравнение:
у -1 = -1(х + 3) или y = -х - 2
уравнение высоты СН, угловой коэффициент kCH= -1.
4) Угол между прямыми СD и СH найдётся по формуле:
tg 
= 
= 
= 
= 
= arctg ≈ 120
Задания контрольной работы
Задание 1.
В задачах 1-5 найти сумму и произведение комплексных чисел:
1. z1= 1 + 2 
и z2= 1 - 2 
2. z1= 4 - 3 
и z2= 2 +
3. z1= 0,2 + 2 и z2= -0,3 + 
4. z1= 5 - 6 и z2= -10 +8
5. z1= 
+ и z2= 
- 
В заданиях 6-10 найти разность и частное комплексных чисел:
6. z1= 2 + 2 и z2= 1 -
7. z1= 2 
+ и z2= 2 -
8. z1= 2 и z2= 1 +
9. z1= 4 - 5 и z2= -2 +7
10. z1 = 5 + 12 и z2 = 8 - 6
Задание 2.
В задачах 11-30 проверить совместность системы уравнений и в случае ее совместности решить их:
а) методом Гаусса;
б) методом Крамера;
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задание 3.
В задачах 31-50 найти указанные пределы:
31. 3x2 – 5x -2 2x2 - 3x +1
а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ 2 2x2 – x – 6 x →∞ 3x2 + x + 4
32. 2x2 + 15x +25 5x2 - 2x +1
а) lim ------------------- b) lim ----------------
x→ -5 5 – 4x – x2 x→∞ 2x2 + x – 3
4x2 + 7x +3 3 - 2x - x2
33. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ -1 2x2 + x – 1 x→ ∞ x2 + 4x + 1
2x2 - 9x + 9 3 x2 - 5x + 4
34. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ 3 x2 - 5x + 6 x→ ∞ x3 - x + 1
5x - x2 - 4 2x2 + x - 4
35. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →4 x2 - 2x – 8 x→∞ 3 + x - 4x2
x2 - x - 6 3x2 - 7x + 3
36. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →3 x2 - 6x + 9 x→∞ 2x2 -5x – 3
x2 - 4x + 4 5 - 2x - 3x2
37. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ -2 x2 - 4 x→∞ x2 + x + 3
x2 - 4 2x3 - 2x + 1
38. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →-2 x2 + x - 2 x→ ∞ 3x2 + 4x + 2
x2 - 7x + 10 3x2 + 5x + 4
39. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →5 x2 – 10x + 25 x →∞ 2x2 - x + 1
x2 - 2x - 8 x2 - 7x + 1
40. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ -2 2x2 + 5x + 2 x → ∞ 3x2 + x + 3
x2 - 5x - 14 5x3 - 7x2 + 3
41. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ 7 2x2 - 9x - 35 x → ∞ x3 + 2x + 2
4 x2 + 7x - 2 4x3 - 2x + 1
42. а) lim ---------------- b) lim ---------------
x→ -2 3x2 + 8x + 4 x → ∞ 2x3 + 3x2 + 2
4x2 + 11x - 3 4 - 5x2 - 3x5
43. а) lim ------------------ b) lim ----------------
x →-3 x2 + 2x - 3 x→∞ 2x5 + 6x + 8
x2 - 4x - 5 x - 2x2 + 5x4
44. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →-1 x2 - 2x - 3 x→∞ 2 + 3x2 + x4
x2 - 5x + 6 2x3 + 7x2 - 2
45. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →2 x2 - 12x + 20 x→∞ 6x3 - 4x + 3
6 + x - x2 7x3 + 4x
46. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →3 x3 - 27 x→∞ x3 -3x + 2
3x2 - 6x - 45 2x3 - 4x2 + 3x
47. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →5 2x2 - 3x - 35 x→∞ 7x3 + 3x + 1
x3 - 8 1 - 4x + x3
48. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x →2 x2 + x - 6 x→∞ x - 2x3
3x2 - 7x - 6 8x4 - 4x2 + 3
49. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ 3 2x2 - 7x + 3 x→ ∞ 2x4 + 1
x2 - 16 2x3 + 7x - 2
50. а) lim ---------------- b) lim ----------------
x→ 4 x2 + x - 20 x→∞ 3x3 - x
Зада ние 4. В задачах 51-70 исследовать функцию и построить ее график. Исследование предусматривает нахождение интервалов возрастания и убывания, точек экстремума, определение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба, наличие асимптот.
51. y = 3x4 – 5x3 + 2
52. y = 
x4 – 2x3 + 4x2 + 6
53. y = x4 – 2x3 + 4x2
54. y = x3 – 1,5x2 – 6x + 4
55. y = x4 – 8x3 + 16x2 + 3
56. y = x3 + 6x2 + 9x – 12
57. y = (x+2)3 – 27x + 3
58. y = (x+1)3 – 3x + 4
59. y = (x+2)3 – 3x + 1
60. y = (x-2)3 – 3x – 14
61. y = 
x3 – 2x2
62. y = 
x3 + 3x2 -7
63. y = x3 – 3/2x2 - 4x + 10
64. y = x3 – 3/2x2 + 2
65. y = 
x3 –9/5x2 +3x + 3
66. y = x3 – x2 - 3x + 2
67. y = 
x3 – 3/2x2 + 8
68. y = - x3 + 9/8 x2 + 1
69. y = x3 + 1/2x2 - 2x + 1
70. y = x3 – 3x2 + 5x + 1
Задание 5. В задачах 71-90 найти производную следующих функций:
71. a) y = 
+ 
- 4x6 + 
b) y = (x3 + 4x) ∙ tg2 3x
c) y = 
72. a) y = 3x6 + 
+ 
b) y = (x - 2)4 ∙ sin 6x
c) y = 
73. a) y = 5x3 - 
+ 
b) y = (2x – x2) ∙ tg4 x
c) y = 
74. a) y = 2x5 - 
b) y = (2x – x2) ∙ tg4 x
c) y = 
75. a) y = 3x4 + 
b) y = (x2 + 3x) ∙ tg 
c) y = 
76. a) y = 
3x4 
b) y = cos3 5x – x ∙ sin 3x
c) y = 
77. a) y = 
3x6 
b) y = cos 2x ∙ ctg (x2)
c) y = 
78. a) y = 8x2 
b) y = ( x5 – 4x4 + 3x3 – 2x2)∙cos 7x
c) y = 
79. a) y = 5x2 - 
+ 
b) y = (x – 7)6 ∙ ctg 3x
c) y = 
80 . a) y = 3x5 
b) y = (x + 5)3 ∙ sin2 x
c) y = 
81. a) y = 5x3 
b) y = (2x - 1)3 ∙ (2 - sin x)
c) y = 
82. a) y = 4x4 
b) y = (3x - 9)2 ∙ cos
c) y = 
83. a) y = 
+ 
- 6x2 
b) y = (x2 – 9x + 7) ∙ sin 7x
c) y = 
84. a) y =6x4 
+ 
b) y = sin 6x ∙ cos2 4x
c) y = 
85. a) y = 8x3 
b) y = (2x - 5)3 ∙ tg2 x
c) y = 
86. a) y = 
+ 
+ 3x4
b) y = tg3x ∙sin 2x
c) y = 
87. a) y = 9x5 + 
- 
b) y = (x4 + 3x2) ∙ sin 3x
c) y = 
88. a) y = 8x 
b) y = (3x - 4)2 ∙ tg 3x
c) y = 
89. a) y = 3x2 
b) y = tg ∙ cos 8x
c) y = 
90. a) y = 
b) y = sin2 x – (4x + 1) ∙ cos 6x
c) y = 
Задание 6. Решить примеры 91-100.
91. Найти частные производные первого порядка от функции z = х3 + 2ху - 2у3
92. Вычислить значения частных производных первого порядка функции
z = ln (х2 – у2) при следующих значениях аргументов: х = 2; у = -1.
93. Найти полный дифференциал функции z = Зх3 у2.
94. Найти частные производные первого порядка от функции z = (5x3y2 + 1)3.
95. Найти частные производные первого порядка от функции z = arcsin 
96. Найти полный дифференциал функции z = arcctg
97. Вычислить значение полного дифференциала функции z = 
,
при х = 2, y = 1, dx = -1/3, dy = 1/2.
98. Вычислить значение частных производных первого порядка функции
z = 
при х = 4, у = -3.
99. Найти частные производные первого порядка от функции z = 
.
100.Найти полный дифференциал функции z = sin2x cos2y.
Задание 7. В задачах 101-110 найти неопределенные интегралы и проверить результат дифференцированием.
X4
101. а) ∫ --------- dx;
2 - х5
b) ∫ х2 е 3x dx;
102. a) ∫ 
dx
b) ∫ (3 – 5x)e3x dx
103. a) ∫ 
dx
b) ∫ x cos dx
104. a) ∫ e cos x sinx dx
b) ∫ 
lnx dx
105.a) ∫ x2 sinx3 dx
b) ∫ хеx dx;
106. a) ∫ 
x dx
b) ∫ arctgx dx;
107. a) ∫ 
dx
b) ∫ x sinx dx
108. a) ∫ 
dx
b) ∫ arcsin3x dx
109. a) ∫ 
b) ∫ x lnx dx
110. a) ∫ 
dx
b) ∫ x cos3x dx
Задание 8. В задачах 111-120 вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной данными линиями; сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.
111. y = x2 и y = 
112. у = (х - 2)2 и у = х;
113. y = x3 и у = 2х;
114. у = 2х – х2 и у = - х;
115. y = 1/3 x3 и у = 3х;
116. у = 1/3 (х - 2)2 и у = х + 4;
117. у = 1/4 (х + 2)2 и у = х + 5;
118. у = 1/4 (х + 6)2 и у = х + 9;
119. у = 1/3 (х + 1)2 и у = х + 7;
120. у = 1/3 (х - 1)2 и у = х + 5.
Задание 9. В задачах 121-140 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы CD;
3) уравнение высоты СН;
4) угол между прямыми CD и СН.
121. А(-2; 3), В(3; 2), С(1; - 4)
122. А(-5; 2), В(2; 3), С(2; - 6)
123. А(3; -2), В(1; 0), С(-5; 11)
124. А(-12; 1), В(0; 2), С(5; 14)
125. А(9; - 6), В(3; - 3), С(7; 10)
126. А(0; 1), В(2; -3), С(-1; - 2)
127. А(4; 1), В(-8; 3), С(0; 10)
128. А(3; 6), В(14; - 4), С(- 4; 13)
129. А(2; 5), В(-1; 2), С(-3; -1)
130. А(-3; 3), В(2; -5), С(- 4; -1)
131. А(-7; 2), В(-3; -8), С(5; -3)
132. А(2; -10), В(5; -4), С(-2; -8)
133. А(-11; 1), В(1; -2), С(5; - 6)
134. А(12; -2), В(10; -2), С(3; - 1)
135. А(-1; 5), В(1; -5), С(0; 2)
136. А(2; -7), В(5; -5), С(2; 1)
137. А(-8; -3), В(3; -5), С(8; 2)
138. А(1; 0), В(2; -1), С(-1; -4)
139. А(0; -5), В(6; -2), С(-5; -7)
140. А(6; -12), В(-1; 8), С(15; -17)
Рекомендуемая литература:
1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д., Математика для техникумов (на базе средней школы). – М.: Наука, 1990.
2. Богомолов Н.В., П.И.Самойленко, Математика: учеб. для ссузов. М.: Дрофа, 2013.
3. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. – М. Высш. шк., 1990.
Содержание:
1. Общие методические указания…………………………………………………………………..2
2. Программа курса «Математика»………………………………………… …....3
3. Критерии оценки выполнения домашней контрольной работы…………………………..........4
4. Порядок выполнения домашней контрольной работы………………………………………… 4
5. Решение задач типового варианта контрольной работы………………………………………. 5
6. Задания контрольной работы………………………………………………………………….. .14
7. Рекомендуемая литература…………………………………………………………………….. .22
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!