Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Лекция

ТЕМА: Определения и понятия дифференциальных уравнений

I. Изучение нового материала.

Дифференциальное уравнение – основной математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике, астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии, экономике, биологии и медицине. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученным Г. Галилеем. Впервые его блестяще применил один из создателе математического анализа И. Ньютон.

Решение задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Существуют задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим одну из них.

1. Размножение бактерий. На опытах с бактериями установлено, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, если, конечно, для них имеется достаточный запас пищи.

Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Тогда скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения.

Если через число x(t) обозначить массу всех бактерий в момент времени t, то будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размножения пропорциональна количеству бактерий, то существует постоянная k такая, что

= kx . (1)

По условию x(t) и x^/(t) неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже неотрицательный.

Уравнение (1) является простейшим примером дифференциального уравнения. Оно называется дифференциальным уравнением размножения. Искомым неизвестным уравнения (1) является функция x = x(t), которая в уравнение входит вместе со своей производной.

Решением данного уравнения является функция вида

x = Ce^kt , где С – const .

Действительно,

= (Ce^kt) = С∙ e^kt ∙ k = k ( Ce^kt ⁾ = kx .

2. Задача 1. Найти закон движения тела по оси Ox, если оно начало двигаться из точки М(4;0) со скоростью v = 2 t + 3 t ².

При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначим путь через x, имеем v = ; тогда = 2 t + 3 t ². Получили дифференциальное уравнение.

3. Радиоактивный распад. Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна начальному количеству радия.

Таким образом, если через x(t) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, то скорость распада удовлетворяет уравнению: = - kx(t), где k – некоторая положительная постоянная. . Знак минус показывает, что x(t) – убывающая функция, следовательно < 0.

Уравнение = - kx ( t ) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если в нем одна независимая переменная; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры.

1. x + yy ^/ =0 – обыкновенное дифференциальное уравнении 1-го прядка.

2. - обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

3. - дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка.

Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - сводится к простейшему дифференциальному уравнению

y ^/ = f ( x ).

Общее решение этого уравнения есть

где С – произвольная постоянная, а под интегралом понимается одна из первообразных функции f(x).

Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка y ^/ = f ( x ,у) в области D называется функция y = φ( x , С), обладающая следующими свойствами:

1) она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2) для любого начального условия y ( x ₀ ) = y ₀ такого, что (x ₀ , y ₀ ) € D , существует единственное значение С = С₀, при котором решение y = φ( x , С) удовлетворяет заданному начальному условию.

3) Всякое решение y = φ( x , С₀), получающееся из общего решения y = φ( x , С) при конкретном значении С = С₀, называется его частным решением.

Решим уравнение, полученное в задаче 1: = 2 t + 3 t ²

x ^/ ( t )= 2 t + 3 t ²

x ( t )= + C – общее решение дифференциального уравнения.

Используя начальные условия, найдем C. Так как x = 4 при t = 0, то подставив эти значения в общее решение, находим: С = 4.

Итак, закон движения тела имеет вид .

Задача Коши.

Задача в которой требуется найти частное решение уравнения y ^/ = f ( x ,у), удовлетворяющее начальному условию y ( x ₀ ) = y ₀, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости xOy график всякого решения y = φ( x ) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению y = φ( x , С) на плоскости xOy соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С.

Определение: График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!